Fisica General Burbano

DILATACIÓN DE SÓLIDOS 303
a, b y g son los coeficientes de dilatación medios en el intervalo de t a t′ ºC.
En todo el estudio anterior hemos considerado que los coeficientes de dilatación son constantes
en el intervalo de 0º a tº. Como esto no ocurre normalmente, la expresión analítica del coeficiente
de dilatación lineal (y análogamente de los demás coeficientes) sería:
a = 1 L0
dL
dt
siendo L 0
la longitud inicial. En consecuencia:
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dL = L 0
adt
y para obtener la variación de longitud de 0º a tº, integraremos entre tales límites:
z z z0
Lt
dL = L adl ⇒ L − L = L adt
L0
0
Para realizar esta integración tenemos que conocer la forma de la función a = a(t). En el caso
de considerar constante el coeficiente en el intervalo considerado:
zt
Lt
− L0 = L0a dt = L0at ⇒ Lt
= L0 ( 1 + at)
0
obteniendo la misma fórmula que en el estudio elemental.
En el caso de grandes variaciones de temperatura en que a no lo podemos considerar constante,
la resolución de la integral en estudio es:
L t
= L 0
(1 + at + bt 2 + ct 3 + ...)
en los que a, b, c, etc. son coeficientes característicos de la sustancia, que se determinan por un
número adecuado de observaciones experimentales.
XIV – 9. Relación entre los coeficientes de dilatación lineal, superficial y cúbica
Cualquier superficie homogénea cuando sufre una variación de temperatura pasando de cero
a t grados centígrados, si su valor después de la dilatación es S t
, será semejante a S 0
, superficie a
cero grados antes de la dilatación. Considerando que «las áreas de superficie semejantes son proporcionales
a los cuadrados de las dimensiones lineales homólogas», se obtiene:
2 2 2
St Lt L0
( 1+
at)
2 2
= = = 1+ 2at + a t ; 1+
2at
2 2
S L L
0 0 0
ya que a 2 t 2 se escapa de los límites perceptibles, pues siendo a muy pequeño, su cuadro es mucho
menor. Por igualación de las dos expresiones de S t
se obtiene:
S ( 1+ bt) = S ( 1+ 2at)
⇒ b = 2a
0 0
t
0
«El coeficiente de dilatación superficial, es prácticamente, el doble del lineal».
Verificando el mismo estudio para volúmenes V 0
y V t
, antes y después de la dilatación, obtenemos:
3 3 3
t
0 0
Vt Lt L0
( 1+
at)
2 2 3 3
= = = 1+ 3at + 3a t + a t ; 1+ 3αt ⇒ V0 ( 1+ γt) = V0
( 1+ 3αt)
⇒ γ = 3α
3 3
V L L
0 0 0
«El coeficiente de dilatación cúbica es, prácticamente, el triple del lineal».
PROBLEMAS: 7al 12.
XIV – 10. Variación de la densidad con la temperatura
Al calentar los cuerpos sólidos aumenta su volumen y disminuye su densidad, cumpliéndose:
«Las densidades son inversamente proporcionales a los binomios de dilatación cúbica».
Ello es debido a que la masa de un cuerpo es independiente de la temperatura y, por tanto, es
idéntica en frío que en caliente. Si r 0
y r t
son las densidades a 0º y tº, la masa del cuerpo es:
M = V 0
r 0
= V t
r t
, sustituyendo V t
por su valor:
r0
V0r0 = V0
( 1 + gt)
rt
⇒ rt
=
1 + gt
t
Fig. XIV-7.– En la dilatación de superficies
homogéneas se cumple que
son semejantes antes y después de su
dilatación.
Fig. XIV-8.– Los volúmenes, semejantes,
son proporcionales a los cubos
de las dimensiones lineales
homólogas.