Fisica General Burbano

412 ELECTROSTÁTICA
XVIII – 32. Cálculo del potencial y del campo eléctrico que crea un dipolo eléctrico
en un punto
El dipolo eléctrico es un tipo de distribución que nos aparece frecuentemente en el estudio del
electromagnetismo; volveremos a ocuparnos de él en el capítulo XIX.
Fig. XVIII-39.– Dipolo eléctrico. Vector
momento dipolar.
Se llama DIPOLO ELÉCTRICO al sistema formado por dos cargas eléctricas puntuales, iguales y
de signo contrario, unidas rígidamente y separadas entre sí una distancia pequeña l (Fig.
XVIII-39).
Se define como «MOMENTO DIPOLAR» a la cantidad vectorial:
p = q l
Fig. XVIII-40.– Las cargas +q y –q
unidas rígidamente forman el dipolo
→ →
eléctrico de momento dipolar p = q l .
El potencial en P será la suma de los
potenciales debidos a las cargas individuales.
es decir: «Es un vector cuyo módulo es ql, dirección la definida por la recta que une las cargas, y
sentido el que va de la carga negativa a la positiva».
Teniendo en cuenta la relación:
F V V V I
E =− grad V =− i + j + k
x y z
y como hemos dicho en muchas ocasiones, casi siempre será más fácil calcular primero el escalar
V (potencial) en cualquier problema y después por derivación hacer el cálculo de E.
En efecto: El potencial creado por el dipolo de la Fig. XVIII-40 en un punto P a distancias r 1
y
r 2
de la carga positiva y negativa respectivamente será:
Llamando r a la distancia desde el centro del dipolo (O) hasta el punto P, y considerando que:
r ? l, podemos poner:
l
l
r1 = r − cos j r2
= r + cos j
2 2
sustituyendo en V:
y como r ? l nos quedará después de eliminar el infinitésimo
teniendo en cuenta que: p = q l ⇒ p · r = qrl cos j, nos queda:
Obtendremos las componentes del campo por derivación:
2 2 2
sabemos que: r = x i + y j + z k ⇒ r = x + y + z , luego:
multiplicando escalarmente por p = p x
i + p y
j + p z
k y teniendo en cuenta las propiedades de este
producto nos queda:
F r px
3 p?
r
p ?
− x
3 3 5
x r r r
luego:
Sustituyendo en (17) y generalizando para las demás componentes del campo:
E
x
F
E
x
x
V = K q
L F
=− =− H G I
NM K JO
F r I
3
HG
r K J =
V p r
r
i
i p
x x K ?
0 =− ?
3 3
r QP
x r
r
L
N
M
1
1
−
K ql
l
l
r − r + P = cos j
2
cos j cos j
2 l
r − cos
2
2 4
r r
− 3r
r x
ri − 3 r
x x
r 1 3x
=
= i − r
6 4 3 5
r
r r r
3 2
V K q q
= 0 −
r r
HG I K J =
F
HG
3p? r p i
p r j
x I 3 ? py
3p?
r pz
k
= K0 x i − Ey
K y j
Ez
K z k
HG
r r K J = −
= −
5 3 0 5 3 0 5 3
r r KJ
r r
F
HG
HG
L
NM
1 2
O
QP
3 p?
r p
E = K r
0 −
r
5 r
3
I K J
L
NM
I
O
P
Q
0 0
2
KJ
l 2 K0
ql
V
2
4 cos : cos j
j =
r
F H G I K JO
QP
p?
r
V = K0 3
r
i
F
HG
2
j
I K J
(17)
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