Fisica General Burbano

TEORÍA DE MOMENTOS 39
II – 20. Momento de un vector con respecto a un eje
Consideremos un eje e y un vector v de origen P. Si obtenemos el momento del vector con
respecto a un punto del eje y tal vector-momento lo proyectamos sobre el eje, el valor de
tal proyección es un escalar, al que se llama MOMENTO DEL VECTOR CON RESPECTO AL EJE.
Considerando el eje e y el vector v (Fig. II-32), el momento de v con respecto a un punto O del
eje es: N = r × v, y el momento con respecto al eje será:
N e
= proy ( r × v)
e
(15)
Si tomamos el momento de v con respecto a otro punto cualquiera del eje, O′, obtenemos:
N′ =r′ ×v, pero como r′ =O′O + r nos quedará:
N′ =(O′O + r) × v = O′O × v + r × v
su proyección sobre el eje e será:
′ = proy ( OO′ × v) + proy ( r × v)
N e e e
Fig. II-32.– Momento de un vector
respecto de un eje.
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el producto O′O × v es perpendicular a O′O (y a v) y por tanto perpendicular al eje e; su proyección
sobre tal eje es nula, quedando la anterior igualdad de la forma: N e ′ = proy e ( r × v)
,
idéntica a la (15) lo que nos demuestra:
«El valor del momento de un vector con respecto a un eje es el mismo, cualquiera que sea
el punto del eje que tomemos como centro de momentos».
CONSECUENCIAS:
«Si el vector y el eje están en el mismo plano el momento es nulo» ya que el momento del
vector con respecto a cualquier punto del eje es perpendicular a éste y por tanto su proyección
es cero.
«Si el vector y el eje están cruzados perpendicularmente el momento con respecto al eje es
igual al momento con respecto a cualquier punto del eje» ya que este último momento coincide en
dirección con el eje.
II – 21. Expresión del momento de un vector con respecto a un punto y a un eje en
función de las componentes coordenadas del vector
Sea N el momento del vector v = v(v x
,v y
,v z
), de origen P(x, y, z), con respecto a un punto
O(x 0
,y 0
,z 0
), entonces:
luego:
N
x
=
y − y z − z
v v
y
Sea N e
el momento del vector v = (v x
,v y
,v z
) con respecto al eje e, cuya dirección viene definida
por sus cosenos directores (cos a, cos b, cos g) que son las componentes coordenadas del
vector unitario eº que define la dirección del eje. El momento N e
se obtiene por la definición del
producto escalar:
N e
= proy e
N = N · eº = N x
cos a + N y
cos b + N z
cos g
si tenemos en cuenta (16) y que O(x 0
, y 0
, z 0
) pertenece al eje podremos poner:
que es la expresión que queríamos hallar.
N = OP × v = x − x y − y z − z
vx vy vz
z − z x − x
v v
cos a cos b cos g
Ne
= x − x0 y − y0 z − z0 = eº ? ( OP × v)
v v v
x y z
i j k
0 0 0
x − x y − y
v v
0 0 0 0 0 0
N y =
N z =
z
z
x
x
y
II – 22. Resultante de un sistema de vectores deslizantes. Momento resultante del
sistema. Centro de reducción
«Se llama RESULTANTE de un sistema de vectores deslizantes o cursores al vector libre que se
obtiene por la suma de los vectores equipolentes a los del sistema, tomando como origen
de ellos un punto cualquiera del espacio».
(16)