Fisica General Burbano

MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS. MAGNITUDES ANGULARES 53
C. Dada a = a(t), en la tercera de las ecuaciones (9) puede integrarse directamente respecto
del tiempo obteniéndose v = v(t); x = x(t) se obtiene igual que en el caso B. Por realizarse dos integrales,
se necesitan dos condiciones de contorno.
PROBLEMA: 20.
D. Velocidad dada en función de la posición: v = f(x); utilizaremos la segunda de las ecuaciones
(9): v = f( x)
= x, separando variables: dx/f(x) = dt, integrando obtenemos x = x(t), que
.
.
sustituida en la dada nos proporciona v = v(t) y la aceleración la obtenemos de a = a()
t = v. Se
necesita una condición de contorno.
PROBLEMAS: 21 al 23.
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E. Aceleración dada en función de la velocidad: a = f(v); utilizando la tercera de las ecuaciones
(9) se tiene: v = f()
v , separando variables: dv/f(v) = dt, que integrada nos da: v = v(t); la
.
.
integración de x = v()
t nos proporciona x = x(t). También puede utilizarse vdv = adx ⇒
vdv = f(v)dx e integrando obtenemos x = j(v), en la que sustituyendo v = x
. , separando variables
e integrando, se obtiene x = x(t).
PROBLEMAS: 24 y 25.
F. Aceleración dada en función de la posición: a = f(x); de vdv = adx obtenemos: vdv =
= f(x)dx, que integrada nos proporciona; v = f(x), entonces como se ha hecho en D, se obtiene
x = x(t).
PROBLEMAS: 26 y 27.
Las REPRESENTACIONES GRÁFICAS de las relaciones entre las variables x, v, a y t en el movimiento
rectilíneo nos proporcionan en muchos problemas la suficiente información para su resolución.
Se observa en las Figs. III-10 a y b, que las fórmulas fundamentales v = x
. y a = v
. , nos expresan
que la velocidad es igual a la pendiente de la curva x = x(t) en un instante determinado y
que la aceleración en tal instante es igual a la pendiente de la curva v = v(t).
Las integrales definidas de v = x
. y de a = v
. son:
z z
t 2
t 2
x2 − x1 = vdt v2 − v1
= adt
t1
t1
la primera de estas fórmulas nos expresa que el área medida bajo la curva v = v(t) (Fig. III-10 b)
desde t 1
a t 2
nos proporciona el valor del desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo
t 1
a t 2
; la segunda expresa que el área bajo la curva a = a(t) (Fig. III-10 c) desde t 1
a t 2
nos mide la
variación de velocidad durante el mismo intervalo. Estas propiedades pueden emplearse para determinar
gráficamente la curva x = x(t) conocidas v = v(t) o a = a(t).
Si existen valores negativos de la velocidad en algún intervalo, la integral entre t 1
y t 2
de v(t)
es la diferencia A – B (Fig. III-11) y nos da la posición de la partícula en el instante t 2
respecto de
la posición que ocupaba en t 1
.
zt
2
xt ( 2) = xt ( 1) + vtdt ( ) = xt ( 1)
+ A−
B
t1
El área total A + B es el espacio total recorrido por la partícula, es decir:
zt′
t 2
t1
z′ t
s= A+ B= vtdt () + vtdt ()
siendo t′ tal que v(t′) = 0. La interpretación física de este caso es la siguiente (Fig. III-12): La partícula
recorre el intervalo [x (t 1
), x (t′)] con velocidad negativa (retrocede) y el intervalo
[x(t′), x(t 2
)] con velocidad positiva. El espacio total recorrido es: s = |x(t′) – x(t 1
)| + |x(t 2
) – x(t′)|.
En la gráfica a = a(x) (Fig. III-13 a), el área representada bajo la curva en el intervalo entre x 1
y x 2
, está dada por la integral de vdv = adx. Es decir:
z z
v2
x 2
1 2 2
vdv = adx ⇒ ( v2
− v1
) = Área limitada por la curva
v1
x
2
1
En la gráfica v = v(x) (Fig. III-13 b) podemos calcular la aceleración a de la partícula en el
punto P de su trayectoria. PB es la normal a la curva en P, y como los triángulos marcados son
semejantes, deducimos que AB es la aceleración a = v(dv/dx).
Las representaciones gráficas no solo son útiles para analizar las relaciones entre las magnitudes
del movimiento en un problema, sino también para aproximar los resultados por derivación o
integración gráfica cuando desconocemos su función matemática explícita.
PROBLEMAS: 28al 31.
vt ()
O t l B
t t 2
Fig. III-11.– Representación gráfica
de v para el caso en que la partícula
en el intervalo de tiempo entre t 1
y t′,
tiene velocidad negativa.
xt ( )
Fig. III-12.– Para calcular el espacio
total recorrido por la partícula.
A
xt (
1)
xt () xt (
2)
xt ()
Fig. III-13.– Representaciones gráficas
de a = a (x) y v = v (x) para el movimiento
rectilíneo de una partícula.
t