Fisica General Burbano

436 EL CAMPO ELÉCTRICO EN LA MATERIA
D = e E + P ⇔ D = e E + c E = ( e + c)
E = eE
0 0 0
→
Fig. XIX-43.– «Caja de píldoras». D,
→ →
E y P son aquí paralelos, puesto
→ → → →
que D = e E y P = c E.
Si el dieléctrico es homogéneo, lineal e isótropo e es una constante característica del medio. Si
no es homogéneo, e puede ser una función de punto, si no es isótropo puede depender de alguna
dirección particular del espacio, y si no es lineal puede incluso depender del campo aplicado.
Volvamos al caso del condensador plano y calculemos la integral de superficie del vector D a
través de la superficie total «caja de píldoras» A T
de la (Fig. XIX-43):
z z z
D? dA = e 0 E? dA + P ? dA
(7)
AT
AT
AT
por el teorema de Gauss:
z
1 1
E? dA
= ( A s f − A sb) = ( Qf − Qb)
(8)
A e
T
0 e 0
Por otra parte:
La integral sobre A 1
es cero pues P es cero (fuera del dieléctrico) y también es nula la integral
a lo largo de la superficie lateral A L
, pues P es paralelo a E y por tanto el vector P es perpendicular
al dA y el producto escalar será nulo. Queda únicamente:
y como P = s b
:
Fig. XIX-44.– Esquema de los vectores y líneas de campo
→ → →
de E,
D y P en un dieléctrico LHI entre las placas de un
condensador plano.
z z z z
P ? dA = P ? dA + P ? dA + P ? dA
AT
A1
A AL
z z z
P ? dA
= P dA cos q = P dA
A A A
z z
P ? dA = As
b ⇔ P ? dA
= Q
A
AT
«El flujo del vector polarización a través de una superficie cerrada, es siempre igual a las
cargas ligadas a los dieléctricos que se encuentran en su interior».
Las cargas libres no intervienen para nada en el cálculo del flujo del vector polarización a través
de una superficie cerrada.
Sustituyendo las (8) y (9) en la (7) nos queda:
zD?
dA
= As f − Asb + Asb = As
f = Qf
⇔
AT
z
⇔ D?
dA
= Qf
( carga libre encerrada en AT)
AT
b
«Cuando se calcula el flujo del vector D en una superficie cerrada, solamente
cuenta la carga libre interior a dicha superficie, independientemente
de que exista o no dieléctrico».
Este resultado, que se ha obtenido para un caso particular, es general en
cualquier situación, pudiéndose aplicar a cualquier región del espacio limitada
por una superficie cerrada, y se conoce como la LEY DE GAUSS PARA EL DESPLA-
ZAMIENTO ELÉCTRICO.
Obsérvese que mientras las cargas libres y las ligadas son fuentes del campo
eléctrico E, solo las cargas libres son fuentes del vector D y solamente las cargas
ligadas contribuyen a P; de tal forma que mientras las líneas de campo del
vector E se representan disminuyéndolas en el interior del dieléctrico, no se disminuyen
las líneas de campo del vector desplazamiento, y sólo existen líneas de
campo del vector polarización en el interior del dieléctrico (Fig. XIX-44).
Si aplicamos el teorema de Gauss a una región en la que todas las cargas libres
encerradas se distribuyen como una densidad de carga r entonces:
Q = rdv ⇒ D?
dA
= rdv
f
z z z
v AT
v
por otra parte; si aplicamos al primer miembro de esta ecuación, el teorema de
la divergencia:
(9)
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