Fisica General Burbano

ANÁLISIS GENERAL 205
d J dI ( v)
N = = = I d v
= Ia
dt dt dt
(4)
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expresión que constituye la ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DEL SÓLIDO ALREDEDOR DE UN EJE,
en la que se ha prescindido del subíndice z, pero téngase muy claro que solamente se deriva respecto
al tiempo la componente del vector J en la dirección del eje de giro, pudiendo tener componentes
perpendiculares al eje de giro no nulas. Sin embargo, existen casos muy interesantes en que
el momento angular total J, tiene la dirección del eje de giro y será paralelo a v; en esos casos diremos
que el eje es un EJE PRINCIPAL DE INERCIA, de forma que J = Iv y la segunda ecuación del
movimiento N ext
= dJ/dt, no tendrá, para estos casos, ninguna restricción de componentes.
Los ejes de simetría de un sólido homogéneo, son ejes principales de inercia; en efecto: tomando
uno de ellos como eje de rotación, cualquier partícula dm; tiene su simetría de idénticas masa y
velocidad, por lo que sus momentos angulares dan una resultante en la dirección de v (Fig. X-3),
y por tanto la resultante total, también tendrá esa misma dirección.
Se puede demostrar que en cualquier punto de un sólido rígido hay un sistema de ejes cartesianos
que son ejes principales de inercia, y los momentos de inercia respecto de esos ejes son los
que llamamos MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA.
De la ecuación (4) se deduce inmediatamente el TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGU-
LAR para el sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo, se puede expresar de la forma:
«Si el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un sólido con un eje fijo es
nulo, el producto I v se mantiene constante con el tiempo».
Este resultado se puede generalizar a cuerpos no rígidos en los que varíe el momento de inercia;
si N ext
= 0, las variaciones de I van acompañadas de variaciones de v que mantienen constante
su producto.
Una consecuencia que apuntábamos en el capítulo V es que si no actúan pares externos sobre
un cuerpo y éste se encuentra girando alrededor de un eje permanecerá para siempre girando alrededor
de tal eje con velocidad angular constante.
EJEMPLOS:
dI ( v)
Next
= 0 ⇒ = 0 ⇒ Iv
= cte
dt
Imaginémonos colocados en una plataforma que pueda girar sin rozamientos alrededor de un
eje. Tras comunicar un inicial movimiento de rotación subimos y bajamos los brazos. Al subirlos la
rapidez de la rotación será menor, al bajarlos mayor. Este efecto lo aumentamos llevando en las
manos unas pesas.
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Al subir los brazos, I = Σ m i
r i aumenta, pues si bien la masa de cada una de las partículas de
los brazos y pesas no varía, r i
, distancia al eje de giro aumenta. Al aumentar I tiene que disminuir
v para que su producto permanezca constante. El efecto inverso se produce al bajar los brazos,
disminuyendo I y aumentando v.
Las diversas velocidades de giro de los patinadores sobre hielo, tienen el mismo fundamento.
Consideremos a una persona sentada en un taburete de plano que puede girar sin rozamientos
y provista de un volante que pueda girar en torno a un eje vertical. Si hace girar el volante en un
determinado sentido la persona y el asiento del taburete giran en sentido contrario.
En efecto: el momento angular antes del giro del volante es nulo (reposo del sistema) y ha de
ser igual al momento angular cuando gira el volante: 0 = Iv + I′v′ (I e I′ momentos de inercia del
volante y del sistema «persona-asiento giratorio»; v y v′ velocidades angulares respectivas).
De la anterior ecuación obtenemos: Iv = – I′v′.
«Las velocidades angulares son de sentido contrario».
«Los valores de las velocidades angulares son inversamente proporcionales a los momentos de
inercia».
La ecuación vectorial precedente puede proyectarse sobre los ejes (Fig. X-6); y así, si el individuo
sentado en el taburete inclina el eje del volante cuando está en rotación, la conservación del
momento cinético exige: Iw x =− I′ w′ x e Iwy =− I′ w′
y. La primera ecuación determinaría un giro
en torno al eje horizontal, que se realizaría si el individuo estuviese sentado en la cúspide de una
esfera con tal libertad de movimiento; en el caso del taburete, la ligadura o imposibilidad de giro
en torno a tal eje, prohíbe la realización de tal movimiento. La segunda ecuación nos determina el
giro alrededor del eje Y, obedeciendo a las expresiones (en las que suprimimos la notación vectorial
por operar con módulos de vectores que tienen la misma dirección):
Fig. X-3.– Un eje de simetría de un
sólido homogéneo es eje principal de
inercia.
Fig. X-4.– Conservación del momento
angular.
Fig. X-5.– Conservación del momento
angular.
I w
Iw sen j =− I′ w′ y ⇒ w′ y =− sen j
I ′
Fig. X-6.– Conservación del momento
angular.