Fisica General Burbano

390 ONDAS
Problema XVII-9.
11. Sometemos al extremo de una cuerda a un vibrador que le
produce una onda sinuosidal. Si la ecuación de la vibración en el sistema
CGS es: y = 5 sen 0,2pt, propagándose en la cuerda con una velocidad
de 10 cm/s. Determínese la ecuación de la onda producida, y la
diferencia de fase entre las oscilaciones de dos puntos separados
125 cm.
12. Las ecuaciones de dos ondas escritas en el sistema CGS vienen
dadas por: y 1
(x, t) = 4 sen 2p (4t – 0,5x) y y 2
(x, t) = 6 sen (4px –
– 5pt); calcular en cada caso: 1) Velocidad en función del tiempo, de
un punto situado a 10 cm del origen. 2) Velocidad máxima de ese punto.
3) Velocidad de fase. 4) ¿En qué instante alcanza su velocidad máxima
un punto situado a 1,5 m del origen. 5) Posición de los puntos
que tienen velocidad máxima en t = 0.
13. Un foco puntual vibra según la ecuación y (t) = 0,3 cos 40pt
(SI) y la onda resultante se propaga en la dirección positiva del eje OX
con velocidad de fase de 25 m/s. Determinar la elongación de una partícula
situada a 12 m del foco: 1) A los 5 s de empezar a oscilar el foco.
2) A los 5 s de empezar a vibrar la propia partícula.
14. Sometemos al extremo de una cuerda tensa a un vibrador que
le produce vibraciones sinusoidales. Por este efecto se propaga por la
cuerda una onda transversal que tiene por ecuación: y (x, t) = 10 ×
× sen p (1,6x – 0,8t), expresada en el sistema CGS. 1) ¿Qué condiciones
iniciales nos determinan esta ecuación de onda? 2) Determínese para
esta onda su amplitud, velocidad de propagación y longitud de onda.
3) Tiempo que tarda en comenzar a vibrar una partícula de la cuerda situada
a 10 cm del extremo en que se encuentra el vibrador y ecuaciones
horarias del movimiento de ella [y (t), v (t), a (t)] una vez transcurrido
éste. 4) Dibujar la forma que tiene la cuerda [y (x)] cuando han transcurrido
5,625 s del comienzo de la vibración (perfil de la onda).
15. Calcular la velocidad de propagación de las ondas trasversales
en un alambre de 2 m de largo que pesa 7 g cuando en uno de sus extremos
se le cuelga una pesa de 2 kg.
16. A un alambre de acero (Módulo de Young: E = 2,0 × 10 11 N/m 2 ,
densidad del acero: r = 7,8 g/cm 3 ) que tiene un diámetro de 1 mm y
4 m de longitud, lo colgamos del techo, calcular: 1) El alargamiento del
alambre cuando de su extremo libre colgamos un peso de 150 kg. 2) La
velocidad de propagación de las ondas longitudinales y transversales a
lo largo del alambre cuando el cuerpo está suspendido.
17. Determinar la velocidad del sonido en el agua (ondas longitudinales),
sabiendo que actuando 1 atm de presión sobre un volumen de
agua disminuye su volumen en 50 millonésimas del que tenía.
18. Un rollo de alambre de cobre, de 1 kg de peso en el aire, pesa
en el seno del agua 886 g. De tal alambre tomamos 1 m y 224 mm y
hacemos pender un peso de 10 kg, observando un alargamiento de
1 mm. El alambre tiene de sección 1 mm 2 . Calcular la velocidad de propagación
de las ondas longitudinales en el cobre.
19. Calcular la velocidad de propagación de una onda longitudinal
de compresión (sonora) en el helio a 0 °C y 1 atm de presión si su densidad
en estas condiciones es 1,79 × 10 –4 g/cm 3 y, por ser monoatómico,
el coeficiente de las adiabáticas es g = 5/3.
20. A un resorte cuya masa es 200 g y cuya longitud natural cuando
está colgado de un punto fijo es 4 m, se le pone una masa de 100 g
unida a su extremo libre. Cuando esta masa se encuentra en equilibrio,
la longitud del resorte es 4,05 m. Determinar la velocidad de propagación
de las ondas longitudinales en el resorte.
21. La velocidad de las ondas superficiales en el agua, siempre
que la longitud de onda sea menor que la profundidad, es: c =
= gl/ 2p + 2ps/
lr. Sabemos que si l > 10 cm, el término 2ps/lr
es despreciable, y que si l < 10 cm, entonces el término despreciable es
gl/2p. DATOS: r = 1 g/cm 3 , s = 75 dyn/cm. 1) Calcular la velocidad de
unas ondas superficiales en el agua, de las que a simple vista se observa
que su longitud de onda es bastante mayor de 10 cm y que un trozo de
madera que flota en la superficie realiza 120 oscilaciones completas en
un minuto. 2) Tomamos una fotografía de las aguas «rizadas» de un
lago y observamos en ella que entre dos puntos a distancia real de 1 m
hay 20 «rizos» completos. Calcular la velocidad de propagación de tales
rizos. 3) Demostrar que la mínima velocidad de las ondas superficiales
del agua, cuando l es próximo a 10 cm, tiene por valor 23 cm/s.
22. Demostrar que en un sólido las ondas longitudinales viajan a
mayor velocidad que las transversales.
23. Una cuerda de masa M y longitud l cuelga del techo de una
habitación. 1) Probar que la velocidad de un pulso transversal en función
de la posición cuando se propaga a lo largo de ella es c = gx,
siendo x la distancia al extremo libre. 2) Probar que un pulso transversal
recorrerá la cuerda en un tiempo 2 l/
g .
24. De las funciones que se presentan a continuación, sólo dos
pueden representar ecuaciones de onda, de ondas unidimensionales
que se propagan en el eje OX: y 1
(x, t) = 5 × 10 –2 /[0,25 + (x – 2t) 2 ],
y 2
(x, t) = 5 × 10 –2 /[0,25 + (x 2 + 4t 2 – 2t)], y 3
(x, t) = 5 × 10 –2 /[0,25 +
+ (2x + t) 2 ]. 1) Decir cuáles de las funciones: y 1
, y 2
e y 3
son funciones de
onda y justificar la contestación. 2) ¿Cuáles son las velocidades de propagación
de dichas ondas? 3) En la figura se representan varias «fotografías»
de una cuerda tensa, en la cual se está propagando una onda
que corresponde a una de las dos anteriores. Las «fotografías» corresponden
a instantes separados 0,01 s. ¿A cuál de las ondas corresponden
las «fotos»? 4) ¿Podrían las dos ondas propagarse por la misma cuerda,
si ésta está sometida a la misma tensión?
Problema XVII-24.
25. En un alambre largo de densidad lineal 3 × 10 –2 kg/m mantenido
a una tensión de 3 kp provocamos una onda armónica transversal
de 0,5 cm de amplitud y 150 Hz de frecuencia. Suponiendo que la onda
se mueve en el sentido positivo del eje OX y en el origen se verifica
y (0, 0) = 0,25 cm y v (0, 0) < 0, calcular: 1) La ecuación de la onda.
2) Encontrar las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración de una
partícula del alambre que esté situada a 1 m del origen.
26. Por una cuerda tensada con una fuerza de 100 N y que tiene
una densidad lineal de 100 g/m, se propaga una onda transversal armónica
tal que y (0, 0) = 0. Un punto cualquiera de ella tiene velocidades
de 15 y 10 cm/s cuando se encuentra separado de su posición de equilibrio
2,8 y 3,2 cm respectivamente. Determinar la ecuación de la onda
que se propaga por la cuerda.
27. Demostrar que la ecuación de una onda: y (x, t) =
= y 0
cos (kx – w t + j) cumple con la ecuación de ondas.
28. Una onda armónica plana se propaga en el sentido del vector
v( 3, 2, 2 3)
con una frecuencia de 50 Hz y una velocidad de 340 m/s.
Si su amplitud es de 5 mm y su fase inicial nula, obtener la ecuación de
dicha onda.
29. Obtener una expresión de la ecuación de onda para ondas
esféricas que relacione las variaciones y con t y con r, siendo r la distancia
al foco.
30. Demostrar que una onda descrita por la ecuación: y (r, t) =
= r – 1 f (wt – kr) en la que la amplitud es inversamente proporcional a la
distancia r al foco, verifica la ecuación de ondas obtenida en el problema
anterior para ondas esféricas.
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