Fisica General Burbano

CAPÍTULO XXIX
ELECTRÓNICA
A) TEORÍA DE BANDAS
XXIX – 1. Introducción a la teoría de bandas en sólidos
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Se ha visto en capítulos anteriores cómo el estudio de la corriente eléctrica fue realizado experimentalmente
en la primera mitad del siglo XIX, principalmente por Ohm (1826) y Joule (1841),
que relacionaron macroscópicamente la diferencia de potencial, la intensidad en un conductor y la
potencia disipada por el paso de corriente. Al descubrirse posteriormente (1897) el electrón, se explicó
la conducción a partir del comportamiento de éste en el interior del material a base de modelos
teóricos cada vez más complejos. Los actuales modelos de conducción electrónica se fundan
en la aplicación de la Mecánica Cuántica, y en particular, en el hecho de que los electrones en un
átomo pueden poseer una serie discreta de niveles de energía separados por valores de la energía
prohibidos al electrón. La estructura de los niveles ocupados es tanto más compleja cuanto mayor
es el número de electrones del átomo neutro, pero es la misma para átomos aislados del mismo
elemento en su estado fundamental.
Supongamos que tenemos dos átomos iguales, muy alejados, y consideremos el mismo nivel
energético en cada átomo. En el sistema formado por ambos hay entonces en cada nivel electrones
con la misma energía, es decir, los niveles son degenerados. Si aproximamos entre sí ambos
átomos, su interacción mutua hace que un nivel degenerado se separe en otros dos de distinta
energía, de tal forma que esta separación aumenta conforme disminuye la distancia interatómica
(Fig. XXIX-1).
Consideremos ahora que tenemos N átomos del mismo elemento, muy separados, y que con
ellos vamos a formar una red cristalina, consistente en una disposición tridimensional de los átomos
con una repetición periódica de una celdilla unidad, cuya estructura determina el sistema cristalográfico
característico del material (cúbico, cúbico centrado en las caras, hexagonal,...). El número
de átomos que deberemos juntar será del orden de 10 22 en cada centímetro cúbico. Si suponemos
los N átomos dispuestos como lo estarán en el cristal pero muy separados, sin
interaccionar, los niveles de energía permitidos son los niveles atómicos y, considerados todos los
átomos como un conjunto, en cada nivel hay N electrones con la misma energía. Al disminuir la
distancia d entre átomos (Fig. XXIX-2), su interacción hace que cada nivel se separe en N niveles
distribuidos en un intervalo de energía relativamente estrecho, con lo que, por ser N muy grande,
podemos considerar que los N niveles forman una distribución casi continua, que llamaremos BAN-
DA DE ENERGÍA.
Para los niveles más internos de cada átomo la perturbación producida por los demás átomos
es muy pequeña, comparada con la interacción con el núcleo, y la separación de esos niveles será
pequeña; para los electrones exteriores, llamados de valencia por ser los responsables de los enlaces
entre átomos y los que intervienen en las reacciones químicas, la separación será grande y de
hecho las bandas pueden solaparse, como ocurre a la distancia d 3
de la Fig. XXIX-2. La anchura
de las bandas es, por consiguiente, tanto mayor cuanto mayor es la energía de los niveles de que
provienen.
Cuando la separación de los átomos en el cristal es como las d 1
o d 2
de la Fig. XXIX-2, las BAN-
DAS DE ENERGÍA PERMITIDA representadas están separadas por una BANDA PROHIBIDA que, en cristales
puros y sin imperfecciones, no contienen ningún nivel permitido a los electrones.
XXIX – 2. Bandas de conducción y de valencia
El comportamiento de las bandas de energía permitida respecto de la conducción depende de
que estén total o parcialmente ocupadas por electrones.
Consideremos un nivel atómico ocupado por los dos electrones que permite el principio de exclusión
de Pauli; en el cristal completo de N átomos hay por tanto 2N electrones que, en el cristal
ya formado, llenan completamente la banda correspondiente. Para contribuir a la conducción un
electrón debe desligarse de su átomo y acelerarse al recibir energía de un campo eléctrico o bien,
en términos mecano-cuánticos, debe ser excitado a un nivel de mayor energía. Si nos limitamos a
su propia banda y todos los niveles están ocupados en ella, la excitación (o aceleración) del
electrón no puede ocurrir y, por tanto:
Fig. XXIX-1.– La interacción entre
dos átomos iguales produce el desdoblamiento
de un mismo nivel en
dos niveles de energía distinta.
Fig. XXIX-2.– Bandas de energía en
un cristal como función de la distancia
entre átomos. Las marcadas en el
eje corresponden a separación d 1
.
Una banda completamente llena no contribuye a la conducción.