Fisica General Burbano

102 FUERZA Y MASA. LAS TRES LEYES DE NEWTON. ESTÁTICA DE LA PARTÍCULA
el movimiento es además uniforme, y J ≠ cte si es variado); además, la velocidad de la partícula
respecto de O tiene componente perpendicular al vector de posición, cuyo módulo de acuerdo
con IV-7 (coordenadas polares) es: vj
= rj
. . En conclusión, podemos asociar momento angular de
la partícula con la idea de vector de posición barriendo ángulos en el tiempo.
Como ya se puede intuir, esta magnitud va a ser de capital importancia en el estudio del movimiento
de rotación, aunque como acabamos de ver no es privativo de él.
En COORDENADAS POLARES, como r = r u r y
. .
v = ru + r u obtenemos:
r q q ,
. .
2
.
J = mru × ( ru + r qu
) ⇒ J = mr q
r
r
q
(3)
que tiene la dirección perpendicular a u r y u q .
V – 15. Segunda ecuación del movimiento de la partícula
Una vez definido el momento angular de una partícula, vamos a estudiar qué magnitudes lo
hacen variar de un instante a otro. Si derivamos J respecto del tiempo, obtenemos:
J r p
J
. d d ( × )
= = = r . × mv + r × p . = v × mv + r × p . = r × p
.
dt dt
el primer sumando de esta expresión es nulo por ser v = dr/dt y p dos vectores paralelos, y el segundo,
en virtud del segundo principio de Newton, lo podemos poner de la forma:
donde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula, y N el momento resultante.
Tenemos, en definitiva:
expresión que llamaremos SEGUNDA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO DE LA PARTÍCULA; pudiéndose
enunciar:
«El momento, respecto de un punto, de la fuerza neta que actúa sobre una partícula es
igual a la derivada temporal del momento angular de la partícula, respecto del mismo
punto».
Si derivamos respecto del tiempo la ecuación (2), teniendo en cuenta que el vector O′O es
constante, obtenemos:
. . .
J′ = J + O′ O × p ⇒ N′ = N + O′ O × F
y volvemos a tener la expresión ya obtenida en el párrafo V-13 que nos relaciona los momentos de
la fuerza respecto de dos puntos distintos.
V – 16. Velocidad y aceleración areolar
.
r × p = r × F = N
d J
.
N = = J
dt
Supongamos que una partícula describe una trayectoria cualquiera y tomemos un punto fijo O
arbitrario. Se define VELOCIDAD AREOLAR:
V
A
dA
.
= = A
dt
en la que dA tiene de módulo el área barrida por el radio vector que parte de O en el tiempo dt
y tiene la dirección perpendicular a dicha área. De la Fig. V-23, la definición de producto vectorial,
y (1):
1
1 1 1
.
d A 1
dA = r × ( r + dr)
= r × r + r × dr = r × dr ⇒ A = V A = = J (4)
2
2 2 2
dt 2m
y teniendo en cuenta (3) podemos expresar el módulo de este vector en polares:
2 q .
VA = 1 r
2
(5)
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Fig. V-23.– Área barrida por el radio
vector en un tiempo dt.
ACELERACIÓN AREOLAR es un vector axial, límite a que tiende el incremento del vector velocidad
areolar, dividido por el incremento del tiempo cuando éste tiende a cero.