Fisica General Burbano

DINÁMICA DE LAS OSCILACIONES MECÁNICAS 127
K
2m
w0 = 2pn0
= t =
m
R
son respectivamente la FRECUENCIA PROPIA del oscilador (frecuencia de la oscilación no amortiguada)
y el TIEMPO DE RELAJACIÓN, en función de los cuales se escribe:
2
2 0
d x
dt
2 dx 2
+ + w x = 0
t dt
La solución de la anterior ecuación diferencial, es:
−bt
x = A0 e cos wt
(4)
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en la que A 0
es el DESPLAZAMIENTO INICIAL (para t = 0 se verifica que: x = A 0
) y b y w constantes
que hemos de determinar. Para ello hallemos las derivadas primera y segunda de x con respecto a
t:
dx
−bt
=− Ae 0 ( bcos wt+
w sen wt)
(5)
dt
2
d x
−bt −bt 2
−bt
2 2
= Abe b t t Ae b t t Ae b t b t
2 0 ( cos w + w sen w ) − 0 ( − w sen w + w cos w ) = 0 ( − w ) cos w + 2 w sen w (6)
dt
Sustituyendo los valores (4), (5) y (6) en (3), obtenemos:
Para que esta ecuación se cumpla para todos los valores del tiempo, los coeficientes del seno y
del coseno, habrán de ser nulos; del primero obtenemos:
y anulando el coeficiente del coseno, y sustituyendo b por su valor:
2 2
−bt
A e cos wt( K − Rb + mb − mw ) + sen wt( − Rw + 2mbw)
= 0
R
K − m
+ m R m
K
m
− 2
= ⇒ − Rm − m 2
= ⇒ = K R
m
− m
= 2
− 1
w 0
w 0 w w
2
2 0 2
2 4
4
4
t
y la frecuencia del movimiento es:
0
R 1
Rw
= 2mbw
⇒ b = =
2m t
w 1 K R 1
n = = − =
p p p w 2 1
−
2 0 2
2 2 m 4m
2 t
El valor de b en función de w, es, deducido de la (8):
y sustituyendo w 2 en el denominador de la fracción, llegamos a:
b = w
designando por k al valor de la raíz, llamada ÍNDICE DE AMORTIGUAMIENTO.
Sustituyendo b por su valor, en (5) obtenemos como ecuación del movimiento vibratorio
armónico amortiguado:
x = A e cos wt
Si consideramos, como caso más general, una fase inicial j cualquiera, la ecuación anterior se
transforma en:
−kwt
x = A e cos ( wt
+ j)
0
2 2
2
R
4Km
− R
0
−kwt
luego es un movimiento vibratorio cuya amplitud decrece con el tiempo según la ecuación exponencial:
−
A = A e k w t
0
2
2
2
= kw
2
(8)
R K 2 K
0
b = = − w = w − 1 = w
w −1
2
2
2m
m
mw
w
(9)
(10)
(7)
2