Fisica General Burbano

ECUACIÓN DE ONDAS 359
Si llamamos LONGITUD DE ONDA o PERÍODO ESPACIAL (l) a la distancia que avanza la onda (con la
velocidad de propagación c) en un período, es inmediato que:
c 2pc
l = cT = =
n w
Obsérvese en la Fig. XVII-3, que los puntos M y N están en el mismo estado de vibración;
cuando esto ocurre se dice que estos puntos están en FASE, siendo la distancia entre ellos igual a la
longitud de onda, podemos definir a ésta como: «la distancia entre dos posiciones consecutivas en
idéntica fase de vibración».
Otra de las que llamamos magnitudes fundamentales de las ondas es el NÚMERO DE ONDAS que
por definición toma el valor:
k = 2 p
⇒ k = 2 p
= 2 pn w
=
l
cT c c
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En un punto cualquiera a una distancia x del foco, que supondremos en el origen, al que tarda
en llegar la perturbación un tiempo t′, su estado vibratorio en el instante t será el mismo que tenía
el origen t′ segundos antes, en t – t′, con lo que:
y (x, t) = y 0
sen w (t – t′)
siendo: x = ct′ ⇒ t′ =x/c y wt′ =wx/c = kx; sustituyendo nos queda:
Si la perturbación se produce antes en el punto x que en el origen (viaja en el sentido negativo
de X), la condición anterior será:
y (x, t) = y 0
sen w (t + t′) = y 0
sen (wt + kx)
En el caso de que en el origen y en t = 0 (x = 0, t = 0) sea y(0, 0) ≠ 0, hay que añadir a la
expresión de la fase una «FASE INICIAL» j, y se tiene:
ecuación que describe la posición de cualquier punto en cualquier instante, y que por tanto proporciona
información suficiente para resolver cualquier problema cinemático relativo a la onda.
Así por ejemplo, si consideramos una onda armónica que viaja en la dirección positiva del eje OX,
para un valor particular del tiempo:
t = t 1
⇒ y (x) = y 0
sen (wt 1
– kx + j) = y 0
sen (–kx + cte)
que se puede considerar como una «instantánea» de la cuerda que transmite la onda (PERFIL DE LA
ONDA). Si consideramos un punto determinado:
x = x 1
⇒ y (t) = y 0
sen (wt + cte)
describe el movimiento vibratorio armónico del punto en cuestión.
La ecuación (5) se puede escribir, sin pérdida de generalidad, sustituyendo la función seno por
la función coseno, o bien su argumento ponerlo kx ± wt + j, en vez de wt ± kx + j, puesto que
al ser convencional la elección del origen de tiempos podemos incluir en estas ecuaciones fases iniciales
en las que sumamos o restamos p/2 ó p. De hecho, y para que los desarrollos matemáticos
que siguen resulten lo menos complicados posible, tomaremos una u otra de estas ecuaciones.
Es sencillo demostrar que la ecuación (5) es periódica espacial y temporalmente, para ello basta
probar que: y(x, t) = y(x + K 1
l, t + K 2
T), (œ K 1
, K 2
Î Z). En efecto:
y( x + K l, t + K T) = y sen w( t + K T) − k ( x + K l)
+ j = y sen wt − kx + j + K wT − K kl
1 2 0 2 1 0 2 1
y como wT = kl = 2p y K 2
– K 1
= K Î Z, obtenemos:
y (x + K 1
l, t + K 2
T) = y 0
sen (wt – kx + j + 2Kp) = y 0
sen (wt – kx + j) = y (x, t)
como queríamos demostrar.
t x
y( x, t) = y0 sen ( wt − kx) ⇔ y( x, t)
= y0 sen 2p
−
T l
y( x, t) = y0 sen ( wt ± kx + j)
XVII – 4. Movimiento ondulatorio transversal y longitudinal
«Un movimiento ondulatorio es TRANSVERSAL cuando la dirección de propagación de la
onda (dirección en que se transmite la energía) es perpendicular a la dirección de vibración
de las partículas oscilantes, y LONGITUDINAL cuando ambas direcciones coinciden».
F
HG
I K J
(4)
(5)