Fisica General Burbano

DINÁMICA RELATIVISTA 661
y, operando, resulta:
F =
m0
dv
m0
v
+
2
1 − b dt c ( 1 − b ) /
2 2 3 2
dv
dt
v
(22)
Si se verifica b = 1, el segundo sumando es despreciable frente al primero, y esta expresión se
transforma en:
v
F = m
d 0 = m0 a0
dt
A velocidades relativistas, la fuerza ya no es, en general, paralela a la aceleración, sino que tiene,
según (22), una componente en la dirección de dv/dt = a y otra en la de v. Solamente si a es
paralelo o perpendicular a v, la fuerza será proporcional a la aceleración. Lo vemos en los dos casos
particulares de movimiento siguientes;
(I). La partícula posee un movimiento circular uniforme. En este caso se verifica dv/dt = 0 y la
expresión (22) queda:
m0
dv
F =
= ma
n
2
1 − b dt
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La fuerza y la aceleración son paralelas, pero recordemos que la condición ha sido
que v = |v| sea constante, o bien, que a y v sean perpendiculares.
Si el movimiento circular no es uniforme no se verifica lo dicho, Fig (XXVII-12).
(II). Partícula con movimiento rectilíneo acelerado. Por ser rectilíneo podemos prescindir
en la expresión (22) de la notación vectorial, y poner:
F = m dv +
dt c
mv dv
dt v m dv 1
=
( 1 − b ) dt 1 − b
2 2 2
y por ser dv/dt el módulo de la aceleración tangencial:
En este caso, la fuerza necesaria para comunicarle a un cuerpo una aceleración a t
es mayor que el valor ma t
, y ello es debido a que, además de aumentar el módulo de
la velocidad, aumenta también la masa inercial. Como veremos en la cuestión 15, ese
aumento de masa inercial está íntimamente relacionado con el trabajo realizado por la
fuerza y con la energía del cuerpo.
F
=
1 −
ma t
XXVII – 14. Ecuaciones de transformación de la fuerza
Fig. XXVII-12.– Movimientos circulares uniforme
Vamos a desarrollar las ecuaciones que permiten relacionar las componentes de la (MCU) y no uniforme (MCNU).
fuerza que actúa sobre una partícula, medidas desde dos sistemas inerciales, S y S′, el
segundo de los cuales se desplaza respecto del primero a velocidad V en el sentido positivo de la
dirección común X y X′. El principio de relatividad establece que ambas deben tener la misma formulación,
así:
d p dm ( v) d p′
dm ( ′ v′
)
F = = y F′ = =
dt dt
dt′
dt′
donde v es la velocidad de la partícula medida desde S y v′ medida desde S′.
Calculamos las componentes F′ x
, F′ y
, F′ z
de F′. De la expresión (20), las relaciones de transformación
de velocidades, y recordando que hemos llamado b = Vc / y g = 1/
2
1−
b podemos
poner:
L
M
N
F
d d VvxI −
F′ = mv ′ ′ = −
′ HG K J m
M
v x V dt
dt dt c
− P
′ = d
v
Vv dt
− V m dt
dt
dt′ = dmv ( x)
x ( x) g 1
g( x ) g
dt
−
2
x
1
2
c
así que, por ahora:
En las ecuaciones de Lorentz: t′ =g (t – Vx/c 2 ), por tanto:
Por otro lado, teniendo en cuenta que d(v 2 ) = d(v · v) = 2v · dv, tendremos:
dm
dt
F I
HG K J ⇒
Vdx
dt′ = g dt −
2
c
F
HG
F
HG
O
P
Q
F′ = F − V dm
x g x
dt
I
=
KJ
I dt
KJ
dt′
dt
dt′ = 1
F Vv
g 1 −
2
c
m0
v dv v
m d v v d p dm v
=
? = ? ? −
−
2 2 3 2 2 2 2 2 v ? F v
/
2 2
c ( 1−
b ) dt c ( 1−
b ) dt c − v dt dt c − v
L
NM
HG
x
I K J
2
b
O
QP =
L
NM
L
NM
dm
dt
V dm
dt
O
QP ⇒
O dt
QP
dt′
(23)
(24)