Fisica General Burbano

230 EL CAMPO GRAVITATORIO
DATOS TERRESTRES, SOLARES Y LUNARES EN EL SI (continuación)
TIERRA SOL LUNA
Aceleración de la gravedad 9,806 65 274 1,623
Velocidad orbital promedio 29 770 – –
Velocidad angular 7,29 × 10 – 5 – –
Distancia Tierra-Luna 3,84 × 10 5 – –
XI – 5. Leyes de Kepler
Johannes Kepler (1571-1630) recopilando resultados obtenidos de la observación da las siguientes
leyes empíricas:
Fig. XI-6.– Si las áreas BSC, CSD,
DSE, etc, son iguales, los tiempos
para pasar el centro del planeta, de B
a C, de C a D, de D a E etc, también
son iguales. El punto P en que el planeta
está más próximo al Sol lo llamamos
Perihelio, y el punto A el más
alejado Afelio.
Fig. XI-7.– Si dos partículas (o cuerpos
esféricos) se mueven en órbitas
circulares bajo la influencia única de
la atracción gravitacional mutua, entonces
ambas tienen la misma velocidad
angular.
1ª. Los planetas describen órbitas planas y elípticas, en uno de cuyos focos está el Sol.
2ª. Las áreas barridas por el radio vector que parte del centro del Sol son directamente
proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
Si las áreas BSC, CSD, DSE, etc., son iguales, (Fig. XI-6) los tiempos para pasar el centro del
planeta de B a C, de C a D, de D a E, etc., también son iguales.
El movimiento del centro de masa de los planetas alrededor del Sol tiene velocidad areolar
constante, por estar producido por una fuerza central cuya dirección pasa, en todo momento, por
el centro de masa del Sol. La velocidad tangencial y la angular no son constantes, ya que los arcos
y los ángulos descritos en el mismo tiempo, no son iguales.
3ª. Los cuadrados de los períodos son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes
mayores.
r
T
3
2
Esta constante es independiente de la masa del planeta atraído (cualquiera que sea su masa se
cumple la ecuación anterior) pudiendo depender únicamente de la masa del Sol (M).
El año solar en los planetas más alejados del Sol que la Tierra (Marte, Júpiter, etc.) es más largo
que nuestro año solar (3ª ley); en los más cercanos (Mercurio y Venus) ocurre lo contrario.
Tanto la ley de gravitación universal como las leyes de Kepler fueron enunciadas como postulados;
sin embargo las leyes de Kepler son deducibles a partir de los estudios que hemos realizados
de mecánica y la ley de gravitación, o a la inversa. En efecto:
Consideremos dos partículas (o dos cuerpos esféricos, o dos estrellas formando un sistema,
que en Astronomía denominamos «Sistema Estelar Binario») que se mueven en órbitas circulares
por la acción gravitacional mutua (Fig. XI-7) y supongamos que no actúa sobre ellas ninguna fuerza
externa, entonces el CM no posee aceleración alguna, encontrándose en la línea que las une; tomando
al CM como origen de referencia y llamando R y r a los radios de las órbitas de las partículas
mayor (M) y menor (m) respectivamente, se tendrá que verificar: MR = mr. Para que ambas
partículas se muevan en órbitas circulares tendrá que verificarse que la fuerza gravitacional que
actúa sobre cada una de ellas les suministre la aceleración centrípeta necesaria para ello; con esto
las fuerzas centrípetas que experimentan ambas partículas son iguales en módulo por ser las de interacción
gravitatoria, es decir:
M w R = mw′
r
MR=
mr
con lo que «ambas partículas se mueven con la misma velocidad angular alrededor del centro de
masa». Siendo la fuerza gravitacional de valor: GMm/ (R + r) 2 , la condición para que se muevan
en órbitas circulares es:
Aplicando esta última ecuación al sistema solar, teniendo en cuenta que la fuerza entre los planetas
la podemos despreciar en primera aproximación y que si M o m (M: masa del Sol, y m: la
masa de un planeta cualquiera) R será muchísimo menor que r, pudiéndose despreciar, entonces:
de la que se deduce la 3ª ley de Kepler:
3
r
= ′ = ... = constante = f( M)
T′ 2
2 2
F ma G Mm
2
= ⇒
= mw
r
( R + r) 2
GM = 4 p
2 r T
2
3
r
T
GM
= p
2 2
4
⇒ w = w′
en esta expresión no aparece la masa del planeta, siendo GM/4p 2 una constante que, tomando el
mismo valor para todos los planetas, depende de la masa del Sol.
3
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