Fisica General Burbano

192 CINEMÁTICA Y ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
IX – 4. Aceleración del sólido rígido
Derivando (2) con respecto al tiempo nos queda:
dv
dt
p
dvo
dv
= + × OP + v ×
dt dt
d
dt
OP
llamando a p
= dv p
/dt y a o
= dv o
/dt, y haciendo la transformación:
(4)
d OP d( rp − ro)
drp dro
= = − = vp
− vo
= v × OP
dt dt dt dt
al sustituir en (4) obtenemos:
dv
ap
= ao
+ × OP + v × ( v × OP)
dt
(5)
ecuación que nos da la aceleración de una partícula cualquiera (P) del sólido conocidos la aceleración
de otra (O), el vector v = v(t) que caracteriza la rotación en un instante y su derivada.
Aplicaremos ahora la anterior expresión a los movimientos elementales del sólido.
Fig. IX-6.– Par de fuerzas.
1) TRASLACIÓN. Al ser v = v(t) = 0 en cualquier instante, la (5) nos queda:
a p
= a o
y por tanto: Las aceleraciones de todas las partículas del sólido rígido en traslación son iguales en
cada instante.
2) ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: si tomamos el punto O sobre el eje su velocidad y aceleración
serán constantemente nulas. Nos queda:
dv
ap
= × OP + v × ( v × OP)
dt
En este movimiento hemos visto que v = v(t) corresponde a la definición de velocidad angular
de una partícula en rotación alrededor de un punto y que ésta es invariablemente paralela al
eje; el factor dv/dt es la aceleración angular, que por ser v de dirección constante, es también paralela
al eje. Luego el primer sumando de la igualdad (6) será perpendicular al eje y al vector OP,
y por tanto tangente a la circunferencia trayectoria de la partícula, por consiguiente no es otra cosa
que la aceleración tangencial.
Por otra parte, teniendo en cuenta que v = v × R y la propiedad del doble producto vectorial
vista en II-17, el segundo sumando de la igualdad (6) resulta:
v × (v × R) = (v · R) v – w 2 R = – w 2 R
ya que R es perpendicular al eje y por tanto también a v, luego v · R = 0. Este vector así obtenido
tiene la dirección del radio de la circunferencia trayectoria y sentido (signo negativo) hacia el centro
de ella, su módulo es w 2 R y por tanto es la aceleración normal de la partícula. Consecuencia
de lo anteriormente dicho es:
Las aceleraciones angulares de todas las partículas que constituyen el sólido son iguales en
cada instante, y conocida la distancia al eje de giro, la aceleración angular y la velocidad angular de
una partícula del cuerpo se conocerán las características del movimiento de todas.
Las discusiones del MOVIMIENTO DEL SÓLIDO RÍGIDO CON UN PUNTO FIJO Y EL CASO GENERAL se hacen
de forma análoga a como lo hemos hecho para la velocidad.
PROBLEMAS: 1al 10.
B) MOMENTOS
IX – 5. Introducción
Vamos a estudiar la causa que produce rotación a un cuerpo y llegaremos a la conclusión de
que es la magnitud física llamada «MOMENTO», (esta palabra procede del vocablo latino «movimentum»
es decir «capacidad de movimiento», no tiene nada que ver con el concepto de «momento
de tiempo»); el momento surge por el efecto de las fuerzas, pero no es ni mucho menos como
ellas, (son magnitudes totalmente diferentes) aunque ambas rompan el equilibrio de los sistemas.
El camino que seguiremos será: primeramente estudiar el caso más sencillo mediante el que se observa
la rotación pura de un sólido, «EL PAR DE FUERZAS» (Fig. IX-6); un paso más adelante será el
estudio el «MOMENTO DE UNA FUERZA» que será el responsable de la rotación del movimiento «rototraslativo»
que provoca la fuerza de la Fig. IX-20 (esto no es cierto si la fuerza pasa por el centro de
masa, cuyo estudio veremos más adelante) y por último el caso general en el que consideraremos
el sistema de fuerzas más complicado que podamos imaginarnos aplicado a cualquier cuerpo y
que provocará en general un movimiento «rototraslatorio».
(6)
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