Fisica General Burbano

CINEMÁTICA RELATIVISTA 657
como el siguiente: si de una regla (tres dimensiones), proyectamos su sombra sobre una pared
(dos dimensiones), al «girarla», sin modificar evidentemente su forma tridimensional, iremos viendo
distintas formas de la sombra.
Cuando observamos un objeto podemos ver distintas proyecciones según nuestro movimiento
respecto de él. La forma tetradimensional del objeto es invariante, pero si «gira», sus proyecciones,
tridimensional en el espacio y monodimensional en el tiempo, varían.
En este espacio de Minkowski, la distancia entre dos puntos tiene un valor determinado fijo, o
lo que es lo mismo, «el INTERVALO entre dos sucesos es invariante bajo una transformación de Lorentz».
En la Fig. XXVII-8, r y r′ representan las coordenadas espaciales en los sistemas de referencia
S y S′, ict e ict′ las correspondientes coordenadas temporales, y s el intervalo entre dos sucesos.
Supongamos dos sucesos que se verifican en unos lugares y tiempos que designaremos x 1
, y 1
,
z 1
, t 1
para uno y x 2
, y 2
, z 2
, t 2
para el otro. El «intervalo», s, entre ellos es una cantidad cuyo cuadrado
viene dado por la expresión:
s 2 = (x 2
– x 1
) 2 + (y 2
– y 1
) 2 + (z 2
– z 1
) 2 – c 2 (t 2
– t 1
) 2
Si aplicamos las ecuaciones de transformación de Lorentz tendremos:
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que sustituidos en la expresión anterior conducen a:
s 2 = (x′ 2
– x′ 1
) 2 + (y′ 2
– y′ 1
) 2 + (z′ 2
– z′ 1
) 2 – c 2 (t′ 2
– t′ 1
) 2 = s′ 2
Es decir, el intervalo es un invariante relativista.
Esta invariancia aclara la elección hecha del valor de la cuarta componente. En efecto, si hacemos,
por simplificar, que el suceso 1 sea tal que x 1
= y 1
= z 1
= 0 y t 1
= 0, entonces s 2 = x 2 + y 2 +
z 2 – c 2 t 2 , donde x, y, z, t son las coordenadas del suceso 2. Podemos poner el cuadrado del intervalo
como el cuadrado del módulo de un vector de cuatro componentes, es decir, como la suma
2 2 2 2 2
de los cuadrados de sus componentes, s = x ; para ello basta hacer x
2 c 2 t
2
1 + x 2 + x 3 + x 4
4 =−
o bien x4 = ct − 1 = ict. En resumen:
Dos observadores en movimiento uniforme relativo, medirán distinta separación espacial y
temporal para dos sucesos, pero el mismo intervalo en el espacio tetradimensional.
PROBLEMAS: 1al 17.
XXVII – 11. Transformación de velocidades
Se ha visto que la constancia de la velocidad de la luz invalida las expresiones de Galileo para
la suma de velocidades. Teniendo en cuenta las fórmulas de la transformación de Lorentz tratamos
de dar solución al siguiente problema: supongamos que el sistema S′ se mueve con velocidad V en
la dirección positiva del eje OX respecto al sistema S. Una partícula se mueve con velocidad constante
de componentes v′ x
, v′ y
y v′ z
respecto al sistema S′. ¿cuáles son las componentes de la velocidad
respecto al sistema S?
Sabemos que: v x
= dx/dt, v y
= dy/dt, v z
= dz/dt, y como las expresiones diferenciales de las
ecuaciones (11) son:
obtenemos:
v
x
V
dt dx
dx′ + V dt
′ +
′
2
′
dx =
dy = dy′ dz = dz′ dt = c
2
2
1−
b
1− b
dx dx′ + V dt′
= =
dt V
dt′ + dx′
c
x2 V t2
x1 V t1
x2 x1 V t2 t1
− x = ′ + ′ − ′ + ′ ( ′ − ′ ) + ( ′ − ′)
=
2
2
2
1−
b 1−
b 1−
b
y − y = y′ − y′
z − z = z′ − z′
t
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
2
V
V
b
t2′ + x t x t t
t c
c
V x x
2 2′
1′ +
2 1′
( 2′ − 1′ ) + ( 2′ − 1′
)
− =
−
=
2
2
2
1−
b 1−
b
1−
b
2 1
v
dy dy′
= =
dt V
dt′ + dx′
c
x y z
2 2
2 dz dz′
1− b v = =
1−
b
dt V
dt′ + dx′
2
c
2
Fig. XXVII-8.– Una transformación
de Lorentz equivale a un giro en el
espacio de Minkowski.
y como: v′ x
= dx′/dt′, v′ y
= dy′/dt′, v′ z
= dz′/dt′ resulta: