Fisica General Burbano

OSCILACIONES 57
son equivalentes. Las funciones seno y coseno se llaman armónicas, de ahí el nombre
de este tipo de movimiento.
Características propias del oscilador, son, además de la pulsación w, el PERÍODO T o
«tiempo que tarda la partícula en completar una vibración» y la FRECUENCIA n o «número
de oscilaciones verificadas cada segundo». La relación entre ambas es T = 1/n, y su relación
con w se puede deducir de la forma siguiente: puesto que la función seno repite
su valor cuando su argumento (fase) aumenta en 2p radianes, tendremos:
x 1
= x (t 1
) = A sen (wt 1
+ j) = A sen [w (t 1
+ T) + j]
⇒ sen (wt 1
+ j) = sen (wt 1
+ wT + j)
en la que se verifica:
2p
wT
= 2p
⇒ T = ⇒ n =
w
w
2p
⇒
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La ecuación del movimiento en función del período y la frecuencia la podemos escribir:
F I
HG K J = +
xt () = A ( t + ) = 2p
sen w j Asen T t + j A sen ( 2pn t j )
Características que pueden variar de un movimiento a otro para el mismo oscilador
son la amplitud y la fase inicial.
La AMPLITUD es la elongación máxima puesto que el valor máximo del seno es 1, es
decir: sen (wt + j) = 1 ⇒ x máx
= A, y podemos controlarla separando la partícula más
o menos de su posición de equilibrio antes de dejarla oscilar libremente.
La FASE INICIAL j aparece cuando se empieza a contar el tiempo sin estar la partícula
en x = 0 y moviéndose hacia valores positivos de x; puesto que si hacemos el tiempo
cero en la ecuación (15) quedaría: x 0
= A sen j, lo que indica que al comenzar a contar
el tiempo el móvil no parte del origen O (Fig. III-19), sino de un punto P 0
tal que:
OP 0
= x 0
= A sen j.
La figura (Fig. III-20) nos indica las diversas correcciones de fase si se comienza a
contar el tiempo cuando el punto móvil se encuentra en las posiciones indicadas.
Representando en abcisas los tiempos y en ordenadas las elongaciones, damos valores a t en
la ecuación:
2p
xt A t A
T t t 0 T/ 4 T/ 2 3T/
4 T
() = sen w = sen ⇒
x 0 A 0 −A
0
Unidos los puntos representativos, obtenemos una sinusoide que parte del origen de coordenadas
(Fig. III-21 a).
Si existe fase inicial (Fig. III-21 b) la representación gráfica es análoga a la anterior pero la ordenada
en el origen vale: x 0
= A sen j.
Como ya se ha indicado anteriormente, si comenzamos a contar el tiempo un cuarto de período
más tarde, habremos trasladado el eje vertical hasta un punto en que la elongación es máxima
(Fig. III-21 c) obteniendo así la representación gráfica del coseno.
En definitiva, podremos expresar la elongación de un MAS en función del seno de la fase o de
su coseno, eligiendo convenientemente el origen de tiempo, es decir, introduciendo una corrección
de fase p/2.
La ley horaria de la velocidad de la partícula que tiene un MAS, será:
.
2
vt () = x= Awcos( wt+ j) = ± Aw 1 − sen ( wt+ j)
=
2 2 2 2 2
=± w A − A sen ( wt + j)
=± w A −x
En cada punto determinado P de su trayectoria (Fig. III-19) la velocidad de la partícula es
siempre la misma, pero con signo positivo o negativo según que el paso por el punto sea en un
sentido u otro.
Por nueva derivación, obtenemos para valor de la aceleración:
. ..
2 2
at () = v= x= − Aw sen( wt+ j) = −w
xt ()
Fórmula que nos indica que «la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento y
de sentido contrario a él»; lo que caracteriza a todo movimiento vibratorio armónico simple.
Los valores extremos de la velocidad y aceleración se obtienen:
Fig. III-20.– Diversos valores de la fase para distintas
posiciones iniciales de la partícula en su
MAS.
Fig. III-21.– Representación gráfica
de la función x = x (t) del MAS. a) Si
la fase inicial es cero, la gráfica parte
del origen. b) La fase inicial es distinta
de cero. c) Si la fase inicial es
p/2 la representación gráfica del MAS
es la de la función coseno.