Fisica General Burbano

CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL 43
II – 30. Derivada de un vector con respecto a un escalar
Si v(t) es una función vectorial del parámetro t, e incrementamos t, pasando su valor a
t +∆t, hallaremos el valor de ∆v(t) de la forma: ∆v(t) = v(t +∆t) – v(t).
Si dividimos el vector ∆v por ∆t y pasamos al límite con ∆t tendiendo a cero, obtenemos la definición
de DERIVADA DE UN VECTOR CON RESPECTO A UN ESCALAR:
lím
∆v v( t + ∆t) − v( t)
dv
= lím
=
∆t
∆t
→ ∆t
dt
∆t
→ 0 0
Es evidente que las componentes coordenadas de dv/dt serán: dv x
/dt, dv y
/dt, dv z
/dt.
Las propiedades que siguen a continuación, que no deducimos, se pueden demostrar igual
que se hace, en la teoría de funciones, en cualquier tratado de cálculo infinitesimal.
a) Si v = v(s) y s = s(t) obtenemos que:
dv
dv
=
dt ds
ds
dt
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b) Si v(t) = a(t) + b(t) tendremos:
c) Si a(t) = f(t) b(t) tendremos:
CONSECUENCIAS
1) Si v(t) = v(t) u, siendo u = v(t)/v(t) (vector unitario en la dirección v), podemos escribir
2) Si v es tal que v = vu y v es constante en dirección (u no varía) tendremos:
la derivada de v es pues un vector en la dirección de v.
3) Si v es constante en módulo:
este vector es perpendicular al vector v. En efecto: como v · v = v 2
luego si v · dv/dt = 0 tendremos que v y dv/dt son perpendiculares.
derivando:
4) Como consecuencia de las propiedades 2 y 3 si v no conserva constante ni módulo ni dirección,
la igualdad (21) demuestra que la derivada de v es la suma vectorial de dos vectores, uno
en la misma dirección que v y otro perpendicular a ella.
5) Al ser u un vector unitario, conserva constante el módulo, tendremos por la propiedad 3:
luego v y du/dt son siempre perpendiculares.
d) Derivada del producto escalar:
e) Derivada del producto vector:
2
dv da db
= +
dt dt dt
da
dt
dv dv ( u)
v d u
= = +
dt dt dt
du
dv
= 0 ⇒ =
dt
dt
dv
du
=
dt dt v
dv ( ) d ( v?
v)
dv dv dv
= = v ? + ? v = 2 v ? = 0
dt dt dt dt dt
u
u ? d = 0
dt
df
f d b
= b +
dt dt
dv
dt
dv
dt
u
d ( a?
b)
db da = a ? + ? b
dt dt dt
u
(21)
d ( a × b)
db
da
= a × + × b
dt dt dt