Fisica General Burbano

CAPÍTULO XXIII
ECUACIONES DE MAXWELL.
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
A) ECUACIONES DE MAXWELL
XXIII – 1. Generalización de la ley de Ampère; corriente de desplazamiento:
Cuarta ecuación de Maxwell
Según vimos en el párrafo XXI-39, todo campo magnético se puede interpretar como si estuviera
producido por un sistema de corrientes tales que:
rot H = J (LEY DE AMPÈRE) (1)
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siendo J la densidad de tales corrientes. Si tenemos en cuenta la expresión vectorial: div rot V = 0
(La divergencia del rotacional de un vector siempre es igual a cero), al aplicarla a la ecuación (1)
nos queda:
div rot H = div J = 0 (2)
lo que nos demuestra que la ecuación (1) no es general para el campo magnético puesto que (2)
sólo la cumplen las corrientes estacionarias, es decir aquellas en las que permanece constante con
el tiempo la carga eléctrica en el interior de una superficie cerrada; pero es evidente que por ejemplo,
en el circuito RC con dieléctrico entre sus armaduras y sin él (párrafos XX-25 y 26, y XXI-30),
en la descarga oscilante de un condensador (párrafo XXII-13) deja de cumplirse, al igual que en el
caso simple del campo magnético creado por una carga eléctrica en movimiento, puesto que en
los puntos del espacio abandonados por la carga ∂r/∂t < 0, mientras que en aquellos a los que se
dirige ∂r/∂t > 0. En estos casos y en otros muchos se verifica la ecuación de continuidad obtenida
en el párrafo XX-3:
y como la condición (2) supone la constancia de r pierde su generalidad.
Maxwell resolvió esta dificultad, reemplazando al vector J por otro J′ para el cual se verifique
siempre: div J′ =0, y que para el caso de corrientes estacionarias coincida con J. Si derivamos
respecto del tiempo la que llamamos Primera Ecuación de Maxwell, que se obtuvo en el párrafo
XIX-25:
que sustituida en la ecuación de continuidad:
y el valor del vector buscado será:
sustituyendo el vector J por J′ en la (1) resulta:
D r
div D = r ⇒ div =
t t
D
rot H = J + t
div J =− r
t
J′ = J +
D
D
div J =−div ⇒ div J +
t
t
(4ª ECUACIÓN DE MAXWELL)
al término ∂D/∂t se le denomina DENSIDAD DE CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO. Es claro que esta
ecuación matemática no puede demostrarse (es una ley empírica), sin embargo la aplicación a
cualquier situación puede ser verificada por los resultados experimentales. Como consecuencia de
la ley de Faraday (3ª Ecuación de Maxwell) decíamos que «todo campo magnético variable con el
tiempo genera un campo eléctrico», la (3) nos expresa el recíproco; es decir: «Todo campo eléctrico
variable nos genera un campo magnético».
La aplicación del teorema de Stokes a la (3) nos determina que:
z zF
D
H? dl = J + I
? dA
C
AHG
t K J
D
t
L
NM
O
QP =
0
(3)
expresión integral de la 4ª Ecuación de Maxwell.