Fisica General Burbano

TEORÍA DE CAMPOS 143
VII – 8. Circulación
Consideremos un campo vectorial definido por E, y sea dr una trayectoria elemental o elemento
de línea; llamaremos CIRCULACIÓN dG a lo largo del elemento dr a:
dΓ = E?
dr
= E dx + E dy + E dz
x y z
Si C es una curva entre dos puntos M y N, con todos sus puntos contenidos en el campo
(Fig. VII-11), el valor de la circulación a lo largo de esta trayectoria finita será:
z z
Γ = = + +
C
E? dr
( E dx E dy E dz)
C
x y z
En el caso de que se trate de un campo de fuerzas, es decir, E es una fuerza, el sentido físico
de la circulación es el de trabajo realizado por E a lo largo de C.
Fig. VII-11.– Circulación del vector E
a lo largo de la trayectoria C (de M a
N).
VII – 9. Flujo
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Si consideramos en un campo vectorial E, una superficie infinitesimal dA, el FLUJO ELEMENTAL
DEL CAMPO a través de la superficie es:
df = E dA cos j
siendo j el ángulo formado por E y la normal a la superficie (Fig. VII-12).
Si, como es costumbre, representamos a dA por un vector normal a la superficie, y con su sentido
como indica la figura, el flujo infinitesimal del vector E a través de dA es:
df = E?
dA
Si la superficie es finita, se obtiene el flujo sumando la contribución de cada uno de los infinitos
elementos diferenciales de superficie; es decir:
f =zE ? d A
A
VII – 10. Divergencia
Consideremos un pequeño volumen t en el espacio ocupado por el campo vectorial y sea A la
superficie que lo envuelve; dentro del volumen t imaginemos un punto P. Llamaremos DIVERGEN-
CIA DEL CAMPO EN UN PUNTO al flujo que por unidad de volumen atraviesa a la superficie de un elemento
infinitesimal de volumen que rodee a un punto (P):
z
1
divE = lím E? d A
t→0
t A
Los conceptos de flujo y divergencia pueden comprenderse fácilmente con ayuda de un símil
hidrodinámico. Imaginemos un fluido perfecto que circule por una conducción (una tubería) con
velocidad uniforme. En el espacio ocupado por el fluido existe un campo uniforme de vectores, el
constituido por los vectores velocidad de los diversos elementos del líquido. Puede entonces verse
que la cantidad de líquido que atraviesa una superficie normal ideal situada en el seno del líquido
en la unidad de tiempo, es decir el flujo de líquido a través de esa superficie, coincide con nuestra
definición de flujo del vector campo (velocidad, en este caso). Para aclarar la idea física de divergencia
consideremos un pequeño cilindro ideal colocado en el seno del líquido con sus generatrices
paralelas a la dirección de la velocidad del fluido. En nuestro caso notaremos que como la velocidad
del líquido es constante, la misma cantidad de líquido que entra normalmente al cilindro
por una de sus bases, saldrá por la otra; concluiríamos que el flujo total a través de él es cero. Hagamos
ahora tender a cero el volumen del cilindro, hasta reducirlo a un punto y a un pequeño volumen
diferencial alrededor de él, la situación sería la misma y el flujo total seguiría siendo cero.
También lo sería el flujo total por unidad de volumen alrededor del punto considerado. Esta magnitud
es la divergencia. En definitiva, en nuestro punto el campo vectorial tendría divergencia nula.
La situación sería muy distinta si en el punto considerado existiera un manantial de líquido. Al calcular
el flujo total producido por unidad de volumen alrededor del punto nos encontraríamos que
no es cero puesto que en él está manando líquido. En este punto el campo tendría divergencia positiva.
Si en vez de un manantial, existiera un desagüe, nuestro punto tendría divergencia negativa.
Hemos visto de esta manera que el escalar DIVERGENCIA nos permite caracterizar aquellos puntos
del campo vectorial en que éste, valga la expresión, se crea o se destruye; es decir clasifica los
MANANTIALES y los SUMIDEROS del campo.
Fig. VII-12.– Flujo del vector campo
E a través del elemento del área dA.