Fisica General Burbano

TEORÍA DE CAMPOS 147
2
W1
= zF ? dr = Uxyz ( 1 1 1) − Ux ( 2y2z2) = U( r1) − U( r2)
1
2
Obsérvese que escribimos U 1
– U 2
y no U 2
– U 1
, es decir:
«La energía potencial es una función de punto tal que la diferencia entre sus valores en las
posiciones inicial y final es igual al trabajo realizado sobre la partícula, por la fuerza conservativa
del campo, para moverla de su posición inicial a la final»; o lo que es lo mismo: «En
un desplazamiento de la partícula entre dos posiciones, el incremento de su energía potencial
es igual a menos el trabajo realizado por la fuerza conservativa».
La expresión diferencial de la anterior es:
dW = F ? dr
= − dU
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que aplicada a una dimensión se escribirá:
dU =−Fdx ⇒ F =−
fórmula que nos da la variación de energía potencial por unidad de longitud. Si queremos escribir
esta ecuación en tres dimensiones, tenemos que recurrir a la notación de derivadas parciales y
será:
U U U
F =− i − j − k =−grad U
x y z
Es de resaltar que hemos definido la energía potencial a partir de su incremento entre dos posiciones.
Si queremos asignarle un valor específico a la energía potencial de una partícula en un
punto determinado, deberemos fijar un punto de referencia, al que asignaremos el valor cero de
energía potencial, y referir la de los demás puntos a éste.
La elección práctica más cómoda del punto de referencia depende de la expresión analítica de
la fuerza conservativa de que se trate en cada caso.
VII – 16. Potencial en un punto de un campo conservativo. Relación entre el
potencial y la intensidad de campo
Una característica importante de la energía potencial es que, en cada punto, depende de la
partícula a la que se la medimos. Dos partículas con distinta cantidad de magnitud escalar, e y e′
(masa en los campos gravitatorios o carga en los eléctricos), requieren trabajos distintos para ser
transportadas entre las mismas posiciones inicial y final.
La energía potencial no tiene un valor único en un punto, y no nos sirve por tanto para caracterizar
unívocamente el campo conservativo. Este hecho se solventa con la introducción de una
nueva magnitud física:
«El POTENCIAL (V) en cada punto de un campo conservativo es, por definición, la energía
potencial de la unidad de magnitud escalar».
Uxyz ( , , )
Vxyz ( , , ) =
e
con lo que cada punto P (x, y, z) posee un único valor del potencial.
Esta magnitud verifica una importante relación: por ser F = eE y F = – grad U tendremos:
F U
= − grad
⇒ E = − gradV
e e
«La intensidad de campo es, con signo cambiado, igual al gradiente de potencial».
VII – 17. Campos de fuerzas centrales
Un caso particularmente importante de fuerzas conservativas es el de las fuerzas centrales cuyos
módulos son los mismos si están aplicadas en puntos equidistantes del centro. Vamos a demostrar
que, con esta condición, un campo de fuerzas centrales es conservativo.
Supongamos que movemos una partícula del punto 1 al 2, a lo largo de un camino M (Fig.
VII-15), y luego volvemos a 1 por una trayectoria diferente N, en el interior de un campo de fuerzas
centrales; al recorrer la partícula el camino intermedio dr 1
, comprendido entre dos arcos de circunferencia
centrados en O y de radios r y r + dr, cuando pasa de 1 a 2 por M, el trabajo realizado
será:
dW = F · dr 1
= F proy F
dr 1
= F dr
dU
dx