Fisica General Burbano

TRABAJO Y ENERGÍA DE UN SÓLIDO EN ROTACIÓN 211
serán. Así que el momento angular y la velocidad angular tienen la misma dirección si y sólo si la
velocidad angular está sobre un eje principal, o lo que es lo mismo, si el sólido gira en torno a un
eje principal de inercia.
Al ser I dependiente de la masa y parámetros geométricos del cuerpo y éstos permanecer constantes
con el tiempo; la SEGUNDA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO se escribirá:
dJ
dI ( v)
N = = = I d v
= Ia
dt dt dt
a la que llamaremos ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN PARA EL SÓLIDO RÍGIDO CON
UN PUNTO FIJO.
X – 8. Dinámica del movimiento general del sólido rígido (rototraslatorio)
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Podemos considerar el movimiento más general de un sólido en cada instante como la combinación
de una rotación en torno a un eje instantáneo y de una traslación en la dirección del eje.
La velocidad de cualquier punto P′ del sólido se obtendrá como la suma de dos velocidades:
v′ =v + v × r, donde v es la de un punto P del eje, v la velocidad angular en ese instante, independiente
de P, y r el vector de posición de P′ respecto de P. El momento angular del sólido en el
instante considerado se expresa:
Haciendo los mismos cálculos que para el movimiento de traslación y rotación con un punto
fijo se obtiene: J = R × Mv + Iv, en la que I es la matriz formada por los coeficientes de inercia. Si
tomamos como centro de momentos el CM, entonces: S = Iv, en el que S representa el spin, es decir
el momento angular en el movimiento relativo con respecto al CM; ecuación que ya demostramos
en el análisis del movimiento de los sistemas de partículas en general.
Las dos ecuaciones del movimiento de un sólido las podemos expresar:
La primera nos dice que:
«El centro de masas del sólido tiene en el espacio la misma trayectoria que recorrería una
partícula de masa M, igual a la del sólido, sometida a la fuerza resultante de las exteriores
que actúan sobre el sólido».
La segunda demuestra que:
«El movimiento relativo del sólido en torno del CM es el mismo que tendría el sólido rígido
si su CM estuviera fijo, y actuasen sobre el sólido las mismas fuerzas exteriores que actúan
en el caso que estudiamos».
PROBLEMAS: 48al 70.
J = r × v′ dm = r × v dm + r × ( v × r)
dm
F
ext
z z z
V V V
dp
v
S
M d d
NCM
I d v
= = = =
dt dt
dt dt
B) TRABAJO Y ENERGÍA DE UN SÓLIDO EN ROTACIÓN
X – 9. Trabajo realizado al hacer girar un sólido rígido alrededor de un eje fijo.
Potencia mecánica
El único momento que produce rotación de un cuerpo alrededor de un eje es el que lleva la dirección
del eje, originado por fuerzas como las que vemos en la Fig. X-12, siempre perpendiculares
a R (distancia del punto de aplicación de la fuerza al eje de giro). Otras posibles componentes de
la fuerza total aplicada son anuladas por reacciones del eje.
Supongamos que por efecto de esta fuerza F el cuerpo gira un ángulo dj en un tiempo dt, el
trabajo realizado por esta fuerza en el tiempo dt será:
dW = F ds = F dj
R = N dj
ya que FR es el módulo del momento de la fuerza aplicada respecto del eje de giro. Concluimos
diciendo:
«El trabajo realizado por las fuerzas que hacen girar a un sólido alrededor de un eje fijo, es
el producto del momento resultante respecto del eje, por el ángulo girado».
El trabajo en un giro finito entre dos posiciones j 1
y j 2
será:
Fig. X-12.– La fuerza resultante que
produce la rotación a un sólido rígido
con un eje fijo es siempre perpendicular
a R.