Fisica General Burbano

174 DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS DISCRETOS
con lo que obtenemos:
J =ΣR × m i
v +Σr′ i
× m i
v′ i
= R × (Σ m i
) v +Σr′ i
× m i
v′ i
⇒
J = R × Mv + ∑ r′× m v′
i i i
(5)
Llamando al primer sumando MOMENTO ANGULAR ORBITAL (L) y al segundo sumando MOMENTO
ANGULAR INTERNO (S), o SPIN, pondremos:
J = L + S
«El momento angular de un sistema de partículas con respecto a un punto O, es igual al
momento angular de una partícula de masa igual a la suma de todas ellas, concentrada en
el centro de masas, más el momento angular debido al movimiento de las partículas alrededor
de (referido a) su centro de masas.»
El momento angular interno es nulo cuando:
1) r′ i
y v′ i
son paralelos, es decir, si todas las partículas se mueven hacia o alejándose del CM
radialmente.
2) v′ i
= 0, es decir: v i
= v y todas las partículas poseen la misma velocidad que el CM por lo
tanto el sistema se mueve con traslación pura (sin giro).
Si el único movimiento del sistema es el de rotación alrededor de un eje que pasa por el CM,
entonces v = 0 y todo el momento angular del sistema se reduce a su momento angular interno.
PROBLEMAS: 37al 40.
VIII – 10. Momento de las fuerzas exteriores respecto del centro de masas
En la cuestión VIII-4 se obtenía la relación entre vectores de posición: r i
= R + r′ i
, que sustituida
en la expresión del momento total de las fuerzas exteriores para un sistema de partículas, conduce
a:
N ext
=Σr i
× F i
=Σ(R + r′ i
) × F i
= R ×ΣF i
+Σr′ i
× F i
= R × F ext
+ N CM
(6)
donde hemos llamado N CM
, al momento de las fuerzas externas respecto al CM. Por otro lado derivando
la expresión (5) con respecto al tiempo, resulta:
en la que el primer miembro no es otra cosa que N ext
; el primer sumando del segundo miembro es
nulo, ya que v × Mv = 0 por ser los dos vectores paralelos; y en el segundo sumando nos queda:
resultando, por tanto, la expresión:
que comparada con (6) nos determina:
esta ecuación se diferencia de la (4) en que el momento angular y el momento externo en ella se
miden con relación al CM, y es válida aun no siendo éste origen de un sistema de referencia inercial.
La expresión anterior es de gran utilidad en el estudio de la dinámica del sólido rígido.
VIII – 11. El problema de los dos cuerpos. Masa reducida
Se llama PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS al estudio del movimiento de dos partículas aisladas, es
decir, que sobre ellas no actúan fuerzas externas y únicamente se ejercen sobre ellas las fuerzas internas
de interacción entre ambas; conocidas éstas, las ecuaciones del movimiento de ambas partículas
serán:
F
v1 F12
v1
v2 F21
v
= m d d
⇔ = F21 = m d d
2 ⇔ =
dt m dt
dt m dt
12 1
dJ
dR
M M d v dS
= × v + R × +
dt dt
dt dt
1
v
R × M d = R × F
dt
N = R × F +
ext
N
CM
ext
dS
= = .
S
dt
ext
dS
dt
2
2
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teniendo en cuenta que v 1
– v 2
= v 12
es la velocidad de m 1
relativa a m 2
(velocidad dada por un
observador montado en m 2
) y que F 12
= – F 21
, restando las dos ecuaciones anteriores nos queda: