Fisica General Burbano

72 CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS DE LA PARTÍCULA. MOVIMIENTOS RELATIVOS
El ángulo Dj que forman AB y AD (igual al que forman entre sí los radios de curvatura CP y
CP′), es extraordinariamente pequeño por serlo Ds y por tanto podemos confundir la perpendicular
BE con el arco de centro A y de radio AE = v (Fig. IV-8); en tal caso el valor de ED es la diferencia
numérica (modular) de la velocidad v + Dv = AD y la v = AB, es decir: el valor de la variación
del módulo de la velocidad, tomado en la dirección de la tangente:
ED = Dvt (7)
En cuanto al valor BE, confundido con el arco que tiene A por centro y AB = v como radio, es
el arco que tiene que girar v para adquirir la dirección de v + Dv: el vector BE indica el cambio de
dirección de la velocidad. Su valor es: BE = v Dj; pero, considerando el ángulo central, el valor de
Dj es: Dj = Ds/r, que sustituido en el valor BE e indicando su dirección normal a la trayectoria
nos da:
BE
= v s
r ∆
n
(8)
Sustituyendo los valores (7) y (8) en la (6) y teniendo en cuenta la definición de vector aceleración:
en el límite Dv/Dt, es el valor de dv/dt y Ds/Dt toma el valor de la velocidad v, luego:
dv v
a = t + n
(9)
dt r
Para expresar el vector aceleración a en función de las magnitudes angulares, tendremos en
cuenta que v = ρ w t ⇒ v = rw = rj . , y que tanto r como j en general, son funciones del tiempo,
por tanto:
luego:
∆v
∆v
v ∆s
∆v
v ∆s
a = lím = lím t + lím n = t lím + n lím
∆t→0 ∆t
∆t→0 ∆t
∆t→0 r ∆t
∆t→0 ∆t
r ∆t→0
∆t
En cuanto a la aceleración normal:
dv d . .. . . .
at = = ( rj)
= rj + rj = v
dt dt
a = . + . n = .. + . . +
. 2
vτ
vj ( rj rj)
τ j rn
El movimiento circular es un caso particular del movimiento curvilíneo estudiado en esta cuestión.
Sus ecuaciones se obtienen sin más que sustituir r por r, r = 0
. . ..
, j = w y j=
a quedándonos:
2 v
v = wr at
= ar an
= rw = = vw
r
Las componentes intrínsecas del vector aceleración, conocidas las ecuaciones vectoriales horarias
del movimiento, se pueden calcular teniendo en cuenta que el vector unitario tangente a la trayectoria
tiene la dirección del vector velocidad, entonces su valor será: t = v/v, y por ser el vector
aceleración tangencial la proyección sobre la tangente a la trayectoria del vector aceleración, tendremos:
a t
= a? t ⇒ a = ( a?
t)
t
Se calculará, por último, el vector unitario normal, sin más que tener en cuenta que:
a = a + a ⇒ a = a −(a ?t ) t
n
v . 2 2 .
an = = j r= w r= v j
r
t
2
de la que se podrán deducir los valores del vector unitario en la dirección de la normal a la trayectoria
y dirigida hacia el centro de curvatura y el valor del radio de curvatura:
an
a − ( a ? tt )
v v?
v
n = =
r = =
| a × t| a | a − ( a ? t) t|
a n n
2
n
t
2
2
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Podemos calcular la expresión de la ley horaria del movimiento conociendo el módulo de la
aceleración tangencial puesto que a t
= dv/dt ⇒ dv = a t
dt, e integrando desde un tiempo inicial t 0
hasta un instante cualquiera t: