Fisica General Burbano

TEORÍA - CAPÍTULO 08 - 3 as PRUEBAS
176 DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS DISCRETOS
sus velocidades son v 1
, v 2
, ..., v n
. La energía cinética del sistema será la suma de las energías cinéticas
de cada una de ellas.
1 2 1
T =∑ Ti =∑ mivi =∑ mivi ? vi
2 2
En la cuestión del sistema de referencia de centro de masas, se obtenía: r i
= R + r′ i
⇒ v i
= v + v′ i
,
en la que v i
es la velocidad de la partícula m i
referida a O, v es la velocidad del CM referida a O y
v′ i
, es la velocidad de la partícula m i
referida al CM como origen (o lo que es lo mismo, la velocidad
de la partícula tal como la mediría un observador montado en el centro de masa). Si sustituimos
en la anterior, nos queda:
1
T =∑ m i ( v + v i ′)?
( v + v i ′)
2
y aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos:
y teniendo en cuenta que en el sistema de referencia CM el momento lineal total es nulo, el segundo
sumatorio se anula: Σ m i
(v · v′ i
) = v · Σ m i
v′ i
= 0, entonces, la expresión de la energía cinética,
llamando M =Σm i
, nos queda:
«La energía cinética de un sistema de partículas es la suma de la de una partícula de masa
M =Σm i
que se mueve con la velocidad del centro de masas y la energía cinética del sistema
debida a su movimiento respecto del centro de masas».
Llamaremos ENERGÍA CINÉTICA INTERNA del sistema a la energía referida al centro de masa:
Si el sistema posee movimiento de traslación, entonces todas las partículas tienen la misma velocidad
que el centro de masa y por tanto todas las v′ i
son cero y el primer término de la (7) expresa
la energía cinética total. Pero si además del movimiento del centro de masa, existe «movimiento
interno» en el que las partículas tienen movimiento respecto a dicho punto, entonces la energía
cinética del sistema aumenta en el valor dado por la ecuación anterior.
En el caso particular de un sistema de dos partículas (problema de dos cuerpos), la energía
cinética interna adopta una forma muy simplificada. Su expresión es:
y como v′ 1
= m 2
v 12
/(m 1
+ m 2
) y v′ 2
= – m 1
v 12
/(m 1
+ m 2
), sustituyendo se obtiene:
T
int =
1
2
m
1
F
HG
1
1
T =∑ miv +∑ mi ( v?
vi′ ) +∑ mivi′
2
2
m2
m + m
1 2
1 m1
1
v12 ? v12 + m2
−
v ? v = mv
KJ
2 m1 + m2KJ 2
y la energía cinética del sistema de dos partículas se escribirá:
I
2
2 2
1 1
T = Mv + ∑ m i v i ′
2 2
2 2
1
T int =∑ m i v i ′
2
1 2 1
Tint = m1v1′ + m2v′
2
2 2
1 2 1
T = Mv + mv
2 2
VIII – 13. Relación entre la variación de la energía cinética de un sistema y el
trabajo de las fuerzas aplicadas. Trabajo de las fuerzas interiores
Supongamos que tenemos dos partículas de masas m 1
y m 2
sobre las que en un instante determinado
actúan las fuerzas externas F 1
y F 2
y las internas F 12
y F 21
; en ese mismo instante las partículas
se mueven con velocidad v 1
y v 2
estando sobre sus trayectorias C 1
y C 2
en las posiciones referidas
a OXYZ definidas por r 1
y r 2
(Fig. VIII-7). Las ecuaciones del movimiento para ambas
serán:
m 1
a 1
= F 1
+ F 12
F
HG
2
2
12
2
I
2
2
12 12 12
(7)
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m 2
a 2
= F 2
+ F 21
en un tiempo dt, las partículas se desplazarán dr 1
y dr 2
; multiplicando escalarmente estas ecuaciones
por dr 1
y dr 2
respectivamente, nos queda: