Fisica General Burbano

TRAYECTORIAS EN UN CAMPO GRAVITATORIO 237
Para calcularla procederemos de la siguiente forma: supongamos un cuerpo que partiendo del
reposo desde el infinito (U ∞
= 0) llega a un punto P que dista r del centro de la Tierra con una velocidad
v E
; el principio de conservación de la energía exige:
GM m 1
E = U∞ + T∞ = U + T ⇒ 0 = − + mvE
⇒ vE
=
r 2
2G M
r
0 2 0
siendo la intensidad de la gravedad en la superficie terrestre:
quedándonos:
2
0 0 0
2
0 0 0
g = GM / R ⇒ GM = g R
v
R
Recíprocamente si a un proyectil a distancia r del centro de la Tierra se le comunica una velocidad
cuyo valor sea igual o mayor que v E
, escapará de la atracción terrestre. (La velocidad real de
escape debe ser algo mayor por efecto del rozamiento con la atmósfera). Si el proyectil es lanzado
desde la superficie terrestre, r es, entonces, el radio de nuestro planeta, y nos quedará:
2g
r
E = 0
0
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vE = 2g 0 R 0
obsérvese que cuanto mayor sea la altura sobre la Tierra (conforme crece r), es
menor la velocidad de escape, y que además es independiente de la masa del
proyectil.
La Fig. XI-16 nos representa la energía potencial gravitatoria
U(r) = –GmM 0
/r para un proyectil lanzado desde un punto que se encuentra a
una distancia r del centro de la Tierra; para la superficie U(R 0
) = –GmM 0
/R 0
= –mg 0
R 0
, aumentando a medida que aumenta r. Si el proyectil ha sido lanzado
con una velocidad menor que la de escape, poseerá una energía total
E 1
< 0, por lo que se elevará hasta una distancia r 1
, del centro de la Tierra y
volverá a caer sobre ella. Si el lanzamiento se realiza con una velocidad mayor
que la de escape entonces poseerá una energía total E 2
> 0 y como ya se ha
dicho no volverá a la Tierra.
PROBLEMAS: 49al 51.
XI – 12. Ecuación de la trayectoria de una partícula bajo la acción
de una fuerza gravitatoria
Consideremos una partícula de masa m sometida a la tracción gravitatoria de una masa M,
que supondremos fija y de valor mucho mayor que m (Fig. XI-17).
Para obtener la ecuación de la trayectoria de m partimos de la segunda ley de Newton que escribiremos
empleando coordenadas polares, en las que las expresiones de la aceleración y la fuerza
son, respectivamente:
Por consiguiente:
que puede descomponerse en:
.. . 2 .. . .
a = ( r − rj ) u + ( r + r ) u F = − G Mm
r j 2 j j
u
2
r
GMm
2
F = ma ⇒ − ur
= m( .. r − r ) ur
+ m( r + 2 r ) u
2
j . j .. . j .
j
r
.. . 2 GM .. . .
r − rj = − rj + 2r
j = 0
2
r
Por otra parte, al tratarse de una fuerza central se conserva constante el momento angular de m,
es decir, J = r × mv = cte; y su módulo es , con lo que podremos poner: r 2 . J = rmv = mr
2 .
j j
j =
.
Jm / ⇒ j = Jmr /
2 , que pondremos de la forma:
.
j = h
r 2
donde se ha hecho J/m = h.
De esta ecuación y la primera de las anteriores, obtenemos la ecuación diferencial de la trayectoria
en la forma r = f(j), mediante las siguientes expresiones:
..
r
.
r
dr
dt
dr dj
dj
dt
h dr
2
r dj
h d
dj
L F
= = = = − H G I K J O
. . .
dr dr d h dr h d
h d
2 2
j
1 h d
dt dj
dt r dj r djNM
dj r QP =− 1
2 2
2 2
r dj
r
1
r
= = = = − F H G I K J
r
F H G I K J
Fig. XI-16.– Para una energía total E ≤ 0 el proyectil se
encuentra “ligado” a la Tierra. Para E ≥ 0 el proyectil
“escapa” de la influencia gravitacional de la Tierra.
(12)
Fig. XI-17.– Partícula de masa m sometida
a la atracción gravitatoria de
otra de masa M ? m que suponemos
fija.