Fisica General Burbano

256 ESTUDIO BÁSICO DE LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA. MECÁNICA DE FLUIDOS
grad p = 0 ⇒ grad V = 0 ⇒ V = cte
es decir: «En un fluido en equilibrio bajo la acción de un campo de fuerzas derivado de un potencial
las superficies isobaras son también superficies equipotenciales». Es inmediato que al ser isobara
la superficie libre de un líquido, será también equipotencial. En consecuencia, para grandes
extensiones de líquido y en, campo gravitacional, las isobaras son superficies esféricas (forma que
adopta la superficie libre de los mares).
Teniendo en cuenta las propiedades del vector gradiente, y multiplicando escalarmente por dr
la expresión anterior, obtenemos:
grad p? dr
+ rgrad
V ? dr
= 0 ⇒ dp + rdV = 0 ⇒ dp = − rdV
(4)
De esta expresión obtenemos: r = – dp/dV, es decir, si V es constante, la densidad también lo
es: «Las superficies equipotenciales son también isopícricas».
XII – 9. Teorema fundamental de la hidrostática (líquidos en reposo en el campo
gravitatorio)
Fig. XII-13.– Teorema fundamental
de la hidrostática.
Fig. XII-14.– Para demostrar que el
teorema fundamental de la hidrostática
se cumple para puntos situados
en la misma vertical.
«La diferencia de presión entre dos puntos de un líquido en reposo, bajo la acción de la gravedad,
es igual al peso de una columna líquida que tiene por base la unidad de superficie y
por altura la diferencia de alturas de los puntos».
En efecto: si el fluido se encuentra sometido únicamente a la acción de las fuerzas gravitacionales:
f = –gk, y sustituyendo en (3):
en la que ∂p/dx =∂p/∂y = 0, ya que la presión no varía con x o y, es la misma en un plano horizontal.
Podemos por tanto escribir la expresión anterior con derivadas totales de la forma:
e integrando entre los puntos A y B (Fig. XII-13) separados una distancia vertical h:
zz
A
pA − pB = − rg dz = rg ( zB − zA) = rg − hB − ( hA) = rg ( hA − hB)
B
y en definitiva:
ecuación que expresa el teorema enunciado.
De una forma elemental podríamos demostrar este teorema de la siguiente forma: Demostraremos
primero que se cumple el teorema para puntos situados en la misma vertical (Fig. XII-14).
Consideremos en el seno de un líquido un cilindro, de eje vertical y de base unidad, del mismo líquido
parcialmente solidificado; es decir, conservando sus propiedades, pero separado idealmente
del resto del líquido. Las fuerzas que actúan sobre tal cilindro son: fuerzas sobre la superficie lateral,
que se anulan por simetría; las fuerzas originadas por las presiones sobre las bases, cuyos módulos
son iguales al valor de las presiones por ser las bases de área unidad, y por último, el peso
—P— del cilindro. Para que éste permanezca en equilibrio es necesario que la suma de las fuerzas
hacia abajo, sea igual a la fuerza hacia arriba:
P + p B
= p A
⇒ p A
– p B
= P
que es lo que se pretendía demostrar. Esta condición se cumple igualmente para los líquidos en
equilibrio relativo.
Como consecuencia de lo anterior, probemos la siguiente afirmación: «Dentro de un líquido en
equilibrio y en todos los puntos de una superficie horizontal hay la misma presión» (esto no se
cumple en general para líquidos en equilibrio relativo). Sean los puntos A y A′ y consideremos
otros dos B y B′ situados en la superficie del líquido y en las respectivas verticales de los primeros.
El peso —P— de las columnas representadas en la figura XII-15 es el mismo por tener la misma
base y altura y estar formadas por el mismo líquido. Como: p A
– p B
= P y p A′
– p B′
= P, y
además: p B
= p B′
, por ser ambas presiones las que ejerce la atmósfera, obtenemos:
que es lo que se quería demostrar.
F
HG
− g k 1 p p p
= + +
x
i
r y
j
z
k
1 dp
− g = ⇒ dp = − rg dz
r dz
p − p = rgh
A
p
A
B
= pA′
I
KJ
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