Fisica General Burbano

ÁLGEBRA VECTORIAL 37
c) Cuando dos vectores son paralelos su producto vectorial es el vector nulo y sus componentes
coordenadas son proporcionales entre sí. En efecto: j = 0 ⇒ sen j = 0 ⇒ v 1
× v 2
= 0, la
propiedad recíproca se cumple si y solo si v 1
y v 2
son no nulos.
Además: si v 1
(x 1
,y 1
,z 1
) y v 2
(x 2
,y 2
,z 2
) son paralelos podemos escribir (párrafo II-9 apartado
a):
v 1
= av 2
⇒ x 1
i + y 1
j + z 1
k = ax 2
i + ay 2
j + az 2
k
luego: x 1
= ax 2
, y 1
= ay 2
y z 1
= az 2
, de donde:
x1
y1
z
a = = =
x y z
2
2
1
2
c.q.d.
II – 16. Expresión del producto vectorial y mixto en función de las componentes
coordenadas de los factores
PRODUCTO VECTORIAL: Sean v 1
(x 1
,y 1
,z 1
) y v 2
(x 2
,y 2
,z 2
), entonces:
v 1
× v 2
= (x 1
i + y 1
j + z 1
k) × (x 2
i + y 2
j + z 2
k)
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teniendo en cuenta que:
i × i = 0
j × j = 0
k × k = 0
y aplicando la propiedad distributiva obtenemos:
j × k = − k × j = i
i × j = − j × i = k
k × i = − i × k = j
v × v = xyk − xz j − yxk + yzi + zx j − zyi ⇒ v × v = ( yz − zy) i + ( zx − xz) j + ( xy − yx)
k
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
esta igualdad podemos escribirla de la forma:
PRODUCTO MIXTO: Sean v 1
(x 1
,y 1
,z 1
), v 2
(x 2
,y 2
,z 2
) y v 3
(x 3
,y 3
,z 3
), llamando v 2
× v 3
= v(x, y, z),
podemos poner el producto mixto: v 1 · (v 2
× v 3
) = v 1 · v, por lo que:
v 1 · (v 2
× v 3
) = v 1 · v = x 1
x + y 1
y + z 1
z
teniendo en cuenta la (12):
que sustituidas en la anterior:
que es lo mismo que:
y2 z2
z2 x2
x = y = z =
y z
z x
3 3
y2 z2
z2 x2
v1? ( v1 × v3)
= x 1 + y1
+ z
y z z x
II – 17. Doble producto vectorial
Si tenemos tres vectores v 1
, v 2
y v 3
y relacionamos v 2
× v 3
nos dará un vector, que multiplicado
vectorialmente por v 1
origina un nuevo vector, v 1
× (v 2
× v 3
), al que llamamos DO-
BLE PRODUCTO VECTORIAL.
Esta operación goza de la propiedad:
v
3 3
v ? ( v × v ) =
1 2 3
i j k
× v = x y z
x y z
1 2 1 1 1
2 2 2
3 3
3 3
x y z
x y z
x y z
1 1 1
2 2 2
3 3 3
v × ( v × v ) = ( v ? v ) v −( v ? v ) v
1 2 3 1 3 2 1 2 3
bien entendido que cada uno de los sumandos del segundo miembro son vectores. El valor (por
ejemplo) del vector del primer sumando es el producto del escalar v 1 · v 3
por el vector v 2
(producto
de un escalar por un vector).
Para la demostración de (13) vamos a basarnos en la propiedad del apartado II-5 en que
decíamos que un vector permanece invariable frente al sistema de coordenadas que elegimos, con
lo que la demostración no perderá generalidad. Si se toman tres vectores no coplanarios v 1
, v 2
y v 3
y colocamos los ejes de forma que el plano XY coincida con el plano en que están v 2
y v 3
y el eje
X coincida en dirección y sentido con el vector v 3
(Fig. II-28) entonces tendremos:
1
x
x
x
x
y
y
2 2
3 3
y
y
2 2
3 3
(12)
(13)
Fig. II-28.– Se eligen los ejes de coordenadas
de la forma indicada en el
esquema.