Fisica General Burbano

MAGNITUDES FUNDAMENTALES DE LA CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 51
puesto que la dirección de la cuerda en el límite coincide con la tangente en P, dicho límite será un
vector unitario tangente a la trayectoria y sentido el del movimiento, vector que llamaremos t:
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∆r
t = lím
∆t
→ 0 ∆s
El segundo factor lo hemos llamado velocidad verdadera; con lo que:
v = vt
= s
. t = r
.
(6)
De todo ello deducimos:
«El vector velocidad instantánea de una partícula en movimiento tiene por módulo la derivada
del espacio con relación al tiempo, dirección la de la tangente a la trayectoria y sentido
el del movimiento».
El valor || ṙ es un escalar que representa el aumento en la unidad de tiempo de la distancia al
origen de referencia O del sistema OXYZ, y en el límite esta variación coincide con la variación de
. .
la distancia medida sobre la trayectoria, entonces: s = || r = || v .
Los vectores unitarios i, j y k, no tienen derivadas temporales, puesto que tanto sus módulos
como sus direcciones y sentidos son constantes con el tiempo, por lo que si es r(x, y, z) el vector
de posición de la partícula en un instante determinado, las componentes coordenadas del vector
velocidad en ese instante serán:
. . .
v = x v = y v = z ⇔
x y z
PROBLEMAS: 7al 9.
III – 8. Vector aceleración media
En el movimiento general de una partícula varía el vector velocidad en módulo y dirección. Supongamos
que la partícula en el origen de tiempos se encuentra en el punto P 0
de su trayectoria
definida por la función: r = r(t) (Fig. III-5), transcurrido un tiempo t su posición es P, definida
por r = OP y en ese instante posee una velocidad v; en el instante t +∆t su posición es P′, definida
por r′ =OP′ y tiene una velocidad v′.
Si llamamos ∆v = v′ – v, definimos el VECTOR ACELERACIÓN MEDIA como el cociente entre el
incremento del vector velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido en tal variación de
velocidad.
este vector, que tiene la dirección y sentido de ∆v no tiene una dirección concreta como la
tiene el vector velocidad que es siempre tangente a la curva trayectoria (Fig. III-6).
Por ser la ecuación de dimensiones de la aceleración: [a] = [v]/[t] = LT –2 , se medirá en el SI
en m/s 2 .
III – 9. Vector aceleración
. . .
v()
t = xi + yj + zk
v( t + ∆t) − v( t)
∆v
a =
=
∆t
∆t
Si a partir del punto P (Fig. III-7), medimos variaciones del vector velocidad en intervalos de
tiempo cada vez más pequeños, ∆t 1
, ∆t 2
, ..., obtendremos valores del vector aceleración media en
tramos cada vez más cortos. Al hacer tender ∆t a cero obtendremos el vector aceleración media en
un tramo infinitesimal a partir de P; a ese valor del vector aceleración media lo llamaremos VECTOR
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA, o simplemente VECTOR ACELERACIÓN, es decir:
∆v
dv
.
a = lím a = lím = = v
∆t → 0 ∆t → 0 ∆t
dt
y si en el punto en que medimos a el vector velocidad es:
dr
dv d dr d r ..
v = ⇒ a = = = = r
2
dt
dt dt dt dt
«El VECTOR ACELERACIÓN es la derivada del vector velocidad respecto del tiempo o bien la
derivada segunda del vector de posición respecto al tiempo dos veces».
En componentes cartesianas, la anterior relación se puede desglosar de la forma:
2
2 2 2
x y z
⇒ vt () = v + v + v
(7)
Fig. III-5.– Vector aceleración media.
Fig. III-6.– El vector ∆ → v y por tanto
→
a, en general, no tiene una dirección
concreta, como la tiene el vector velocidad
que es siempre tangente a la
curva trayectoria.
v 1
v P 3
P
Fig. III-7.– Al considerar variaciones
del vector velocidad en tiempos cada
vez menores, obtenemos valores del
vector aceleración media en tramos
cada vez más cortos.
. .. . .. . ..
a = v = x a = v = y a = v = z ⇔
x x y y z z
. .. .. ..
a()
t = v = xi + yj + zk
2 2 2
x y z
⇒ a()
t = a + a + a