KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

4.3. KONZERVATIVNE SILE I POTENCIJALNA ENERGIJA 87
s radij vektorom ⃗r K , u kojoj ima brzinu ⃗v K . Izračunajmo ukupan rad koji sila ⃗ F obavi nad
česticom pri njezinom gibanju od početne do konačne točke. U skladu s drugim Newtonovim
aksiomom (4.2), umnožak mase i ubrzanja čestice jednak je sili koja djeluje na česticu, pa je
stoga rad (4.7) jednak
W P,K =
∫ ⃗rK
⃗r P
⃗ F · d⃗r =
∫ ⃗rK
⃗r P
m d⃗v
dt d⃗r = m ∫ ⃗vK
⃗v P
⃗v d⃗v = m⃗v 2 K
2
− m⃗v 2 P
2
≡ E k (K) − E k (P ). (4.9)
Vidimo da je rad obavljen na račun promjene jedne veličine koja ovisi samo o svojstvima
čestice: njezinoj masi i brzini. Ta se veličina naziva kinetička energija i označava se s E k
E k = m⃗v 2
2 .
Ako je konačna kinetička energija veća od početne, E k (K) > E k (P ), vanjska sila (okolina) je
obavila rad nad česticom i povećala joj brzinu. Ako se kinetička energija smanjila, E k (K) <
E k (P ), tada je čestica dio svoje kinetičke energije potrošila na obavljanje rada nad okolicom
(savladavanje vanjske sile).
Iz činjenice da je rad jednak razlici kinetičkih energija, slijedi zaključak da su i rad i kinetička
energija istih dimenzija i da se mjere u istim jedinicama, džulima.
4.3 Konzervativne sile i potencijalna energija
U prirodi postoji jedna vrsta sila koje zovemo konzervativne sile i koje imaju vrlo posebno
svojstvo u odnosu na rad koji obavljaju nad česticom:
rad konzervativnih sila ne ovisi o obliku putanje
po kojoj se rad obavlja, nego samo o početnoj i konačnoj točki. To je osnovno fizičko značenje
pojma konzervativnosti: rad ne ovisi o obliku puta. Ovaj se fizički sadržaj može matematički
iskazati u integralnom i diferencijalnom obliku. Integralni iskaz bi mogao biti ovakav:
kontinuirano i derivabilno polje sila F ⃗ je konzervativno, ako je rad takve sile po svakoj zatvorenoj
(takvoj da su početna i konačna točka iste) jednostavnoj (nema samopresjecanja) putanji
jednak nuli
∮
⃗F · d⃗r = 0. (4.10)
c
Pokazat ćemo da se u tom slučaju sila može napisati u obliku (negativnog) gradijenta jedne
skalarne funkcije koja se naziva potencijalna energija, E p (to je diferencijalni oblik zapisa
konzervativnosti)
⃗F = − −→ ∇E p . (4.11)
Primjetimo da je ovako definirana potencijalna energija neodredena do na konstantu, zato
jer i E p i E p + const. daju istu silu. Ako se čitatelj pita zašto je potreban minus u gornjoj
definiciji, onda se treba prisjetiti odjeljka 2.4.1 u kojem je pokazano da gradijent ima smjer