KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.1. NEWTONOV ZAKON GRAVITACIJE 177
U prvom integralu desne strane je r ′ < r, a u drugom integralu je r ′ > r, što vodi
na izraz za potencijal unutar kugle
V in (⃗r) = − 2πGρ (∫ r
∫ R
)
0
r ′ dr ′ 2 r ′ + r ′ dr ′ 2 r = −2πGρ 0
(R 2 − 1 )
r
3 r2 .
0
• Izvan kugle je r > R > r ′ > 0, pa je potencijal dan sa
V out (⃗r) = − 2πGρ 0
r
∫ R
0
r
r ′ dr ′ 2 r ′ = − 4πGρ 0 R 3
dakle isto kao i potencijal čestice mase m, smještene u središtu kugle.
3 r
= −G m r , (7.17)
Primjer: 7.2 Kugla polumjera R je jednoliko ispunjena masom konstantne volumne gustoće
ρ 0 . Izračunajte potencijalnu energiju kugle, tj. rad koji treba utrošiti da bi se svi
djelići kugle razmaknuli na medusobno beskonačnu udaljenost.
R: Izraz (7.11) za E p primjenimo na zadanu raspodjelu mase
E p = 1 ∫
ρ(⃗r) V (⃗r) d 3 r.
2
Gustoća je
ρ(r) =
{
ρ0 0 ≤ r ≤ R
0 r > R.
Iz prehodnog primjera znamo da se potencijal ima različite vrijednosti unutar kugle
(gdje je ρ = ρ 0 ) i izvan kugle (gdje je ρ = 0)
E p = 1 2
E p = 1 2
∫ R
∫ R
0
ρ 0 V in d 3 r + 1 2
gdje je m = ρ 0 4πR 3 /3 ukupna masa kugle.
0
∫ ∞
R
0 · V out d 3 r.
(
ρ 0 (−2πG)ρ 0 R 2 − 1 )
3 r2 d 3 r = −G 3 m 2
5 R , (7.18)
Gornji račun može poslužiti za definiciju klasičnog polumjera elektrona. Naime, ako
bismo elektron zamislili kao točkastu česticu, tada bi, u skladu sa (7.8), potencijal u blizini
elektrona neizmjerno rastao po iznosu, što je fizički neprihvatljivo. Zato se krenulo sa slijedećom
zamisli: neka je elektron sličan maloj kuglici polumjera R e unutar koje je jednoliko rasporeden
naboj elektrona q e . Isti bi račun kao gore, dao za elektrostatsku (vlastitu) potencijalnu energiju
elektrona (uz −G → 1/(4πɛ 0 ) i m → q e )
E p = 3 5
qe
2 1
.
4 π ɛ 0 R e
Izjednači li se ova energija s relativističkim izrazom za energiju
E = m 0 c 2 ,