KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

236 POGLAVLJE 8. INERCIJSKI I NEINERCIJSKI SUSTAVI
Slika 8.5: Zemlja kao neinercijski sustav (λ je kolatituda).
Svakoj od gornjih kutnih brzina se može pridružiti period T relacijom T = 2π/ω (odgovarajuća
kutna brzina). Ako je vrijeme trajanja pokusa puno manje od nekog od ovih perioda, tada
se učinak tog neinercijskog gibanja može zanemariti u računu. Tako npr. ako se promatrano
gibanje odvija u vremenskom intervalu manjem od jedne godine, s visokom točnošću se mogu
zanemariti neinercijski učinci koji potječu od gibanja Zemlje oko Sunca i Sunca oko središta
galaksije. U ovoj ćemo aproksimaciji, sustav vezan za središte Zemlje smatrati inercijskim.
Prema relaciji (8.4) je
¨⃗R ∣ = ¨⃗
∣
∣∣nin
R + ⃗ ˙ Ω × R ⃗ + 2Ω ⃗ ×
in
˙ ⃗Rnin + ⃗ Ω × ( ⃗ Ω × ⃗ R ).
Kutna brzina vrtnje Zemlje je konstantna, pa je ˙ ⃗ Ω = 0, a isto tako su i
˙ ⃗R
∣
∣∣nin
= ¨⃗ R
∣
∣∣nin
= 0.
Posljednji član sadrži malu veličinu Ω 2 pomnoženu s polumjerom Zemlje R, tako da je cijeli
taj član reda veličine Ω .
¨⃗R ∣ = Ω ⃗ × ( Ω ⃗ × R ⃗ ).
in
Uvrštavanjem gornjeg izraza u jednadžbu gibanja u neinercijskom sustavu (8.7), uz izostavljanje
oznaka in i nin, dolazi se do
m d2 ⃗r
d t 2 = ⃗ F − 2m ⃗ Ω × ⃗v − m ⃗ Ω × ( ⃗ Ω × ⃗r) − m ⃗ Ω × ( ⃗ Ω × ⃗ R ).
Oznakom ⃗ F su predstavljene sve sile koje djeluju na česticu, gledane iz inercijskog sustva
vezanog za središte Zemlje. Jedna od tih sila je uvijek i gravitacijska sila
⃗F G = − G M Z m
⃗ R + ⃗r
| ⃗ R + ⃗r| 3 .
Ako je gravitacijska sila i jedina sila koja djeluje, jednadžba gibanja glasi
✟m d2 ⃗r
d t 2 = −GM Z ✟m ⃗ R + ⃗r
| ⃗ R + ⃗r| 3 − ✟m⃗ Ω × ( ⃗ Ω × ⃗ R ) − 2 ✟m ⃗ Ω × ⃗v − ✟m ⃗ Ω × ( ⃗ Ω × ⃗r).