KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

90POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI GIBANJA, KONZERVATIVNOST, RAD, ENERGIJA, MOMENTI
(nijema varijabla, po kojoj se integrira, označena je s η). Na drugom se pravcu samo y mijenja
od y P do y, a preostale dvije koordinate imaju nepromijenjene vrijednosti x i z P . Zato je na
ovom pravcu
dy ≠ 0, dx = dz = 0
i od tri integrala iz (4.13), doprinos različit od nule dolazi samo od drugog člana
−
∫ y
y P
F y (x, η, z P ) d η.
I na trećem pravcu se samo z mijenja od z P do z, a preostale dvije koordinate imaju nepromijenjene
vrijednosti x i y. Zato je na ovom pravcu
dz ≠ 0, dx = dy = 0
i od tri integrala iz (4.13), doprinos različit od nule dolazi samo od trećeg člana
Sada (4.13) glasi
E p (x, y, z) = −
∫ x
x P
−
∫ z
F x (η, y P , z P ) d η −
z P
F z (x, y, η) d η.
∫ y
y P
F y (x, η, z P ) d η −
Ako se gornja relacija parcijalno derivira 12 po z, dobit će se
∫ z
z P
F z (x, y, η) d η. (4.14)
∂E p (x, y, z)
= −F z (x, y, z), (4.15)
∂z
zato što u prva dva člana desne strane (4.14) varijabla z ima konstantnu vrijednost z P , pa
derivacija konstante iščezava. Ako se (4.14) parcijalno derivira po y, dobiva se
∂E p (x, y, z)
∂y
= −F y (x, y, z P ) −
Ako se u gornji izraz za F z uvrsti (4.15), slijedi
∂E p (x, y, z)
∂y
= −F y (x, y, z P ) +
∫ z
∫ z
∂ F z (x, y, η)
z P
∂y
z P
d η.
∂ ∂E p (x, y, η)
∂y ∂η
dη
= −F y (x, y, z P ) +
∫ z
z P
∂
∂η
[ ]
∂Ep (x, y, η)
∂y
dη
= −F y (x, y, z P ) + ∂E p(x, y, z)
∂y
− ∂E p(x, y, z P )
∂y
⇒ ∂E p(x, y, z P )
∂y
= −F y (x, y, z P ),
12 Parcijalna derivacija odredenog integrala se izvodi na slijedeći način (vidjeti npr. referencu [3], str. 507)
d
d α
Z h(α)
g(α)
Z h(α)
f(η, α) d η =
g(α)
∂ f(η, α)
∂ α
d η + f(h(α), α) d h(α)
d α
− f(g(α), α)
d g(α)
d α .