KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

212 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Slika 7.17: (A) Periodička putanja. (B) Neperiodička putanja.
u ograničenom dijelu prostora izmedu ρ 1 (najmanja udaljenost tijela od Sunca) i ρ 2 (najveća
udaljenost tijela od Sunca) (slika 7.17). Ova putanja općenito ne mora biti zatvorena (slika 7.17
B ). Može se pokazati da je u posebnim slučajevima, ako je sila koja izvodi gibanje harmonijska
ili gravitacijska (kao u ovom primjeru), putanja je uvijek zatvorena. To je elipsa smještena u
dijelu ravnine izmedu kružnica polumjera ρ 1 i ρ 2 sa izvorom sile u jednom od fokusa (ako je
sila obrnuto srazmjerna kvadratu udaljenosti, kao kod gravitacijske sile), tj. sa izvorom sile u
središtu elipse (ako je sila srazmjerna udaljenosti, kao kod elastične sile - odjeljak 6).
Pokažimo kako ukupna energija tijela odreduje veliku poluos elipse. Na udaljenostima ρ = ρ 1
i ρ = ρ 2 , vrijedi
E elp = E ef.
p = L2 0
2mρ 2 − K ρ , K ≡ G M m.
Riješenja po ρ gornje jednadžbe su upravo ρ = ρ 1 i ρ = ρ 2
( √
)
ρ 1,2 = 1 − K K
±
2
+ 2L2 0
,
2 E elp mE elp
E 2 elp
a njihov zbroj je (slike 7.16.B ili 7.17A), jednak 2a
a = 1 2 (ρ 1 + ρ 2 ) = − 1 2
K
E elp
.
Time smo dobili vezu izmedu ukupne energije tijela koje se giba po elipsi i velike poluosi elipse
E elp = − K 2a . (7.58)
(2) Ako je energija tijela najmanja moguća E = E kru < 0, tada je u svakoj točki putanje
E kru = Ep
ef = min, a E ‖ k = 0. S obzirom da je E‖ k = 0 to je i v‖ = 0, tj. brzina tijela je u svakoj