KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.5. PRISILNI TITRAJI HARMONIJSKOG OSCILATORA 141
Tada je partikularno rješenje zbroj rješenja koja odgovaraju svakom pojedinom članu vanjske
sile
x P = ∑ x P,j . (6.25)
j
Kao što je pokazano u dodatku C , svaka se periodična funkcija može napisati u obliku beskonačnog
reda trigonometrijskih funkcija. Shodno tomu, i vanjska se periodična sila F v može
napisati kao
F v (t) = 1 2 C 0 +
∞∑
j=1
[
Cj cos (j ω t) + S j sin (j ω t)]
,
gdje je ω kružna frekvencija koja odgovara periodu vanjske sile ω = 2 π/T , a C j i S j su poznati
koeficijenti razvoja
C 0 = 2 T
C j = 2 T
S j = 2 T
∫ T
0
∫ T
0
∫ T
0
F v (t) d t,
F v (t) cos (j ω t) d t,
F v (t) sin (j ω t) d t.
Uz ovakav izraz za vanjsku silu, potrebno je naći partikularna rješenja slijedećih jednadžba:
x (0)
P
ẍ + 2 γ ẋ + ω 2 0 x = C 0
2 m ,
x (c)
P
ẍ + 2 γ ẋ + ω 2 0 x = C j
m
x (s)
P
ẍ + 2 γ ẋ + ω 2 0 x = S j
m
a ukupno partikularno rješenje je njihov zbroj
x P = x (0)
P
+ ∞
∑
j=1
[
x (c)
P
]
+ x (s)
P
cos (j ω t), (6.26)
sin (j ω t).
Lako je vidjeti da je partikularno rješenje prve od jednadžba (6.26), naprosto konstanta
(6.27)
x (0)
P = C 0
. (6.28)
2 m ω0
2
Potražimo sada rješenje druge i treće od jednadžba (6.26) za j = 1. Rješenja za ostale j-ove
ćemo dobiti tako što ćemo u j = 1 rješenje uvesti zamjene
ω → j ω, C 1 → C j , S 1 → S j . (6.29)
Uz oznake f 0 = C 1 /m i g 0 = S 1 /m, jednadžbe čija partikularna rješenje tražimo, postaju
ẍ + 2 γ ẋ + ω 2 0 x = f 0 cos ω t, ẍ + 2 γ ẋ + ω 2 0 x = g 0 sin ω t. (6.30)
Jednadžbe su istog oblika, pa je dovoljno rješavati jednu od njih, npr. prvu. Pretpostavimo da
će se, uslijed djelovanja vanjske sile, titranje odvijati kružnom frekvencijom vanjske