KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

404 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE
i slično za ostale dvije komponente sile
F L,y = − ∂ E p
∂y + d dt
F L,z = − ∂ E p
∂z
+ d dt
( ) ∂ Ep
,
∂ẏ
( ) ∂ Ep
.
Kada potencijalna energija ne bi ovisila o brzini, drugi član desne strane gornjih izraza bi bio
jednak nuli, i dobila bi se uobičajena veza sile i potencijalne energije, F ⃗ L = − −→ ∇E p . Napišimo
Lagrangeovu jednadžbu (14.14) za koordinatu x
d
dt
( )
d ∂Ek
− ∂E k
dt ∂ẋ ∂x
[ ]
∂(Ek − E p )
− ∂(E k − E p )
∂ẋ
∂x
( )
d ∂L
dt ∂ẋ
∂ż
= F L,x = − ∂ E p
∂x + d dt
= 0,
( ∂ Ep
∂ẋ
)
,
− ∂L
∂x = 0 (14.22)
(i analogno za y i z koordinate). U gornjoj je jednadžbi s L = E k − E p , označena Lagrangeova
funkcija (lagranžijan) čestice naboja Q koja se brzinom ˙⃗r giba u prostorno i vremenski promjenjivom
elektromagnetskom polju, opisanom skalarnim V (⃗r, t) i vektorskim ⃗ A (⃗r, t) potencijalima
L = m ˙⃗r 2
2
− Q(V − ˙⃗r ⃗ A ).
Lako je provjeriti da se uvrštavanjem gornjeg lagranžijana u jednadžbu (14.22), dobije x komponenta
Newtonove jednadžbe gibanja m¨⃗r = ⃗ F L .
Gauge preobrazba
Poznato je da su električno i magnetsko polje invarijantni na tzv. gauge (baždarne, kalibracijske)
preobrazbe potencijala
V → V − ∂Ψ
∂t ,
⃗ A → ⃗ A +
−→ ∇Ψ.
za proizvoljno polje (funkciju) Ψ(⃗r, t). Zadatak je vidjeti
što se dogada s lagranžijanom uslijed gauge preobrazbe:
V − ˙⃗r A ⃗ → V − ∂Ψ
∂t − ˙⃗r
(
⃗A
−→
)
+ ∇Ψ
(
= (V − ˙⃗r A ⃗ ∂Ψ
) −
∂t + ˙⃗r −→ )
∇Ψ .