KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

312 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Budući da su L i D periodične funkcije s periodom 2L, iz gornjih relacija zaključujemo da su i
f 0 i g 0 takoder periodične s istim periodom 2L.
Nadalje, iz (11.24) slijedi f 0 (−x) = L(−x) + D(−x). No, prema (11.24) je L(−x) = −D(x), i
D(−x) = −L(x), pa je
f 0 (−x) = L(−x) + D(−x) = −D(x) − L(x) = −[L(x) + D(x)] = −f 0 (x),
tj. pokazali smo da je f 0 (x) = −f 0 (−x) neparna funkcija na intervalu [−L, L]. Sličan je i dokaz
za funciju g: iz relacije (11.24) je
L(x) = −D(−x),
L ′ (x) = −D ′ (−x) (−1) = D ′ (−x) ⇒ L ′ (−x) = D ′ (x).
Uvrštavanjem gornjih veza u (11.24), dobiva se
g 0 (x) = c[L(x) ′ − D(x) ′ ],
⇒ g 0 (−x) = c[L(−x) ′ − D(−x) ′ ] = c[D(x) ′ − L(x) ′ ] = −c[L(x) ′ − D(x) ′ ],
g 0 (−x) = −g 0 (x),
tj. i g je neparna funkcija od x. Sve zajedno, za f i g znamo da vrijedi: obje su funkcije
periodične periodom 2L i obje su neparne u x
f 0 (x) = f 0 (x + 2L), f 0 (x) = −f 0 (−x),
g 0 (x) = g 0 (x + 2L), g 0 (x) = −g 0 (−x).
Svaka se periodička funkcija može razviti u Fourierov red, a budući da je funkcija i neparna,
u redu će se pojaviti samo sinusi
∞∑
(
f 0 (x) = a n sin n 2π )
2L x .
Iz gornjeg izraza odmah slijedi
n=1
f 0 (x + v f t) =
f 0 (x − v f t) =
∞∑
n=1
∞∑
n=1
a n sin n π (x + ct),
L
a n sin n π (x − ct).
L
Funkcija g je takoder neparna i periodična, pa se i ona može razviti u red po sinusima
∞∑
(
g 0 (η) = b n sin n 2π )
2L η .
U izrazu (11.23) se pojavljuje integral od g, pa nas zapravo zanima
∫ x+ct
∞∑
∫ x+ct ( nπ
)
g 0 (η)dη = b n sin
L η dη
x−ct
=
=
n=1
∞∑
n=1
∞∑
n=1
n=1
b n
b n
x−ct
L
[cos nπ ] x−ct
nπ L η x+ct
L
[cos nπ nπ L (x − ct) − cos nπ ]
L (x + ct) .