KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

148POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
gdje su
A =
tan Φ =
V 0
√
R 2 + ( ,
1
− ω L) 2
ω C
R
1
− ω L.
ω C
Primjetimo još da uvjet rezonancije (maksimalne amplitude)
d A
d t = 0,
daje da je rezonantna frekvencija jednaka vlastitoj frekvenciji
ω R = ω 0 = 1 √
L C
.
6.6 Apsorpcija snage vanjske sile
Radi jednostavnosti, ograničimo se opet na vanjsku silu čiji je koeficijent C 1 ≡ F 0 razvoja (6.26),
različit od nule, dok su svi ostali koeficijenti jednaki nuli. Djelujući na harmonijski oscilator,
vanjska sila F ⃗ v (t) = F 0 cos ωt ˆx nad njim obavlja odredeni rad i time povećava njegovu
energiju. U ovom ćemo odjeljku izračunati koliko je to povećanje energije po jedinici vremena
tako što ćemo izračunati snagu vanjske sile P v
P v = d W v
d t
= ⃗ F v d ⃗r
d t
= ⃗ F v ⃗v = F 0 cos ωt ˆx ẋ ˆx = F 0 ẋ cos ωt.
Brzinu ẋ ćemo izračunati pomoću stacionarnog (partikularnog) rješenja (6.31) jer nas zanima
ponašanje sustava u vremenima nakon uključenja sile, a ne sam prijelazni režim u trenutku
uključenja. Vremenskom derivacijom (6.31) i uvrštavanjem u gornji izraz za snagu, dobije se
trenutna apsorbirana snaga vanjske sile kao
P v (t) = − F 2 0
m
ω
√
4γ2 ω 2 + (ω 2 0 − ω 2 ) 2
sin(ωt − Φ) cos ωt.
Budući da se vanjska sila mijenja s vremenom, isto tako će se s vremenom mijenjati i apsorbirana
snaga. Kako je sila periodična s periodom T = 2 π/ω, relevantna je srednja snaga
apsorbirana tijekom jednog perioda. Opći izraz za račun srednje vrijednosti periodične
funkcije 〈 f 〉 tijekom jednog perioda je
〈 f 〉 = 1 T
∫ t+T
t
f(t) d t. (6.42)
Primjenimo gornji izraz na račun srednje apsorbirane snage
〈P v 〉 = − F 2 0
m
= − F 2 0
m
ω
√ 〈 sin(ωt − Φ) cos ωt 〉
4γ2 ω 2 + (ω0 2 − ω 2 )
2
( )
ω
1
√
4γ2 ω 2 + (ω0 2 − ω 2 ) 2 2 cos Φ 〈 sin 2ωt 〉 − sin Φ 〈 cos2 ωt 〉 .