KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.5. PRISILNI TITRAJI HARMONIJSKOG OSCILATORA 145
Rezonancija bez prigušenja:
Promotrimo sada detaljnije situaciju kada na harmonijski oscilator djeluje vanjska periodična
sila, ali kada nema otpora sredstva β = γ = 0. Tada je, prema (6.36), rezonantna
frekvencija jednaka vlastitoj frekvenciji slobodnog harmonijskog oscilatora
ω R = ω 0 .
Riješimo jednadžbu gibanja kada je ω = ω R = ω 0
ẍ + ω 2 0x = f 0 cos ω 0 t. (6.38)
Ukupno rješenje je opet zbroj homogenog i partikularnog rješenja x = x H +x P . Kao i u odjeljku
6.1, lako je uvjeriti se da je homogeno rješenje linearna kombinacija sinusa i kosinusa
x H (t) = C cos ω 0 t + S sin ω 0 t,
dok iz teorije diferencijalnih jednadžba (slično kao kod D 2 = 0 rješenja sa strane 136 ili (6.50)),
slijedi da je drugo linearno nezavisno rješenje oblika
(
)
x P (t) = t C P cos ω 0 t + S P sin ω 0 t .
Uvrštavanjem gornjeg x P u jednadžbu gibanja (6.38) i izjednačavanjem članova uz sin ω 0 t i
cos ω 0 t na lijevoj i desnoj strani jednadžbe, dobivamo dvije jednadžbe za dvije nepoznanice:
C P i S P
−2ω 0 C P = 0 ⇒ C P = 0,
2ω 0 S P = f 0 ⇒ S P = f 0
2ω 0
.
Ukupno je rješenje (slika 6.8)
(
x(t) = x H + x P = C cos ω 0 t + S + t f )
0
sin ω 0 t
2ω
[ ]
0
≡ A(t) cos ω 0 t − Φ(t) . (6.39)
gdje smo uveli vremenski ovisnu amplitudu A = A(t)
√
(
A(t) ≡ C 2 + S + t f ) 2
0
2ω 0
i vremenski ovisan pomak u fazi Φ(t)
tan Φ(t) = 1 C
(
S + t f 0
2ω 0
)
(konstante C i S odreduju se iz početnih uvjeta: x(0) = x 0 , ẋ (0) = v 0 ). Vidimo da sada
amlituda titranja, A(t), raste s vremenom, što će, nakon dovoljno dugo vremena, dovesti
do raspada sustava.
Takoder treba primjetiti i da pomak u fazi Φ(t) ovisi o vremenu, pa se vremena t u kojima je
x(t) = 0 :
razlikuju od onih za f 0 ≡ 0
ω 0 t + Φ(t) = (2n + 1) π 2 .