KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

160POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
♠ U općem slučaju ω 0,x ≠ ω 0,y , u skladu s relacijama (6.52), elastična sila nije usmjerena
prema ishodištu koordinatnog sustava i putanja čestice će biti znatno složenija (što nećemo
dalje diskutirati).
Primjer: 6.5 tekst primjera
R: tekst rješenja
6.8 Matematičko njihalo
Matematičko njihalo, slika 6.15, je sustav koji se sastoji od čestice mase m pričvršćene za jedan
kraj niti duljine l. Drugi kraj niti je pričvršćen za nepomičnu točku objesišta O. Masa i
rastezivost niti se zanemaruju. Ako se čestica otkloni od položaja ravnoteže u točki A i otpusti,
ona će se njihati lijevo i desno od točke A.
Izvedimo i rješimo jednadžbu gibanja matematičkog njihala uz zanemarivanje sile otpora koja
potječe od sudara čestice njihala sa česticama sredstva u kojemu se odvija njihanje i od trenja
u točki objesišta. Takoder ćemo zanemariti i učinke od vrtnje Zemlje oko svoje osi, tj.
pretpostavit ćemo da se njihanje odvija u inercijskom sustavu (učincima neinercijalnosti ćemo
se posvetiti u poglavlju 8 - Foucaultovo njihalo). Zbog toga što se gibanje odvija u ravnini,
Slika 6.15: Matematičko njihalo .
prirodno je postaviti jednadžbu gibanja u polarnom koordinatnom sustavu. Položaj čestice je
odreden vektorom ⃗r(t) = lˆρ (t), a sile koje djeluju na česticu jesu sila teža mgˆx i sila napetosti
niti ⃗ F nap = −F nap ˆρ (t). Stoga je jednadžba gibanja
m¨⃗r = mgˆx − ˆρ F nap .
U odjeljku 3.1 smo izračunali opći izraz (3.5) za ubrzanje u polarnom koordinatnom sustavu
¨⃗r = (¨ρ − ρ ˙ϕ 2 )ˆρ + (ρ ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ) ˆϕ .