KLASIËCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

More documents

Recommendations

Info

Poglavlje 14 Lagrangeove jednadžbe gibanja Što te previše čudi, nemoj istraživati; a što je iznad tvojih snaga, nemoj ispitivati. Biblija, Knjiga propovjednikova U prethodnim poglavljima smo probleme gibanja čestice, sustava čestica i krutih tijela, rješavali Newtonovom jednadžbom gibanja, načelom zamišljenih (virtualnih) pomaka ili Eulerovim jednadžbama. U ovom i slijedećem odjeljku, ćemo se upoznati s jednim općenitijim pristupom, koji su uglavnom formulirali Lagrange 1 i Hamilton 2 . Iako se oba ova pristupa svode na Newtonove zakone, oni se odlikuju na samo relativnom lakoćom kojom se problemi formuliraju i rješavaju, nego isto tako i mogućnošću primjene ovih metoda na rješavanje problema izvan područja tradicionalne klasične mehanike, kao što su kvantna fizika, statistička fizika, elektrodinamika i nebeska mehanika. 14.1 Poopćene koordinate Promatrajmo sustav sastavljen od N čestica. Ako se svaka čestica tog sustava, za vrijeme svojega gibanja, može nalaziti u proizvoljnoj točki prostora i pri tome imati proizvoljnu brzinu, sustav se zove slobodan sustav. Za odredivanje položaja takvog sustava, potrebno je znati N radij-vektora položaja svih njegovih čestica (u odnosu na neku zadanu, nepomičnu točku u prostoru) ⃗r 1 , ⃗r 2 , · · · , ⃗r N . Uvedemo li i pravokutni koordinatni sustav, tada je ⃗r j = ⃗r j (x j , y j , z j ; t), pa je položaj cijelog sustava odreden s 3N koordinata x j , y j , z j , j = 1, 2, · · · , N. Umjesto pravokutnih koordinata, mogu se uvesti neke druge, pogodnije odabrane veličine (koje čak i ne moraju imati dimenziju duljine, nego mogu biti npr. kutovi kao u sfernom koordinatnom 1 Joseph Louis comte de Lagrange, 1736 - 1813, francuski fizičar i matematičar 2 William Rowan Hamilton, 1805 - 1865, irski matematičar i astronom 385
386 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE sustavu), koje ćemo označavati s η 1 , η 2 , · · · , η 3N . U svakom trenutku t, svaka od 3N pravokutnih koordinata, se može izraziti preko svih ili samo nekih od varijabla η j x j = x j (η 1 , η 2 , · · · , η 3N ; t), y j = y j (η 1 , η 2 , · · · , η 3N ; t), z j = z j (η 1 , η 2 , · · · , η 3N ; t). 14.2 Stupnjevi slobode Uvedimo pojam broja stupnjeva slobode sustava čestica, S. Pod brojem stupnjeva slobode ćemo podrazumjevati najmanji broj medusobno nezavisnih skalarnih veličina nužnih za odredivanje položaja svih čestica sustava. Primjer: 14.1 Za odredivanje položaja jedne čestice koja se slobodno giba u trodimenzijskom prostoru, su potrebne tri koordinate: (x, y, z), (η 1 , η 2 , η 3 ), (r, θ, ϕ) ili nešto slično. Zato je broj stupnjeva slobodne jedne slobodne čestice u trodimenzijskom prostoru, jednak tri (tj. D u općenitom D-dimenzijskom prostoru). Primjer: 14.2 Za odredivanje položaja sustava koji se sastoji od N čestica koje se slobodno gibaju u trodimenzijskom prostoru, potrebno je odrediti položaj svake od čestica sustava, a položaj svake čestice je odreden s tri koordinate. Prema tome, ukupan broj koordinata potrebnih za odredivanje položaja sustava je 3 N, tj. toliki je broj stupnjeva slobode. Primjer: 14.3 Koliko stupnjeva slobode ima kruto tijelo: (A) koje se može slobodno gibati u trodimenzijskom prostoru, (B) koje ima jednu svoju točku nepomičnu, ali se može gibati oko te točke? R: (A-1) Položaj krutog tijela u prostoru je jednoznačno odreden poznavanjem koordinata njegove tri nekolinearne točke. Neka su koordinate te tri točke u pravokutnom koordinatnom sustavu T 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ), T 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ), T 3 = (x 3 , y 3 , z 3 ). Od ovih devet koordinata nisu sve nezavisne. Kod krutog tijela su udaljenosti medu česticama nepromjenjive, pa gornjih devet koordinata mora zadovoljavati slijedeće tri relacije, (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 + (z 1 − z 2 ) 2 = d 1,2 = const., (x 1 − x 3 ) 2 + (y 1 − y 3 ) 2 + (z 1 − z 3 ) 2 = d 1,3 = const., (14.1) (x 2 − x 3 ) 2 + (y 2 − y 3 ) 2 + (z 2 − z 3 ) 2 = d 2,3 = const.. tj. samo je šest koordinata nezavisno (bilo kojih šest koordinata), dok su preostale tri koordinate odredene gornjim trima jednadžbama. Zaključujemo da kruto tijelo ima šest stupnjeva slobode. (A-2) Do istog se rezultata dolazi i drukčijim razmišljanjem. Gibanje slobodnog krutog tijela možemo zamisliti kao kombinaciju translacijskog gibanja i vrtnje. Kad bi se tijelo gibalo samo translacijski, položaj jedne točke tijela bi (zbog uvjeta krutosti) odredivao položaj cijelog tijela. Položaj te točke je odreden s tri stupnja slobode, tj. cijelo kruto tijelo bi imalo tri stupnja slobode. Kada bi se tijelo samo vrtilo, njegov bi položaj bio odreden s dva kuta, θ(t) i ϕ(t), koji odreduju smjer osi vrtnje i treći kut Ψ(t) koji odreduje zakret tijela oko osi. To sve skupa daje tri stupnja slobode
Page 1 and 2:
KLASIČNA MEHANIKA UVOD Zvonko Glum
Page 4 and 5:
Sadržaj 1 Uvod 1 I Mehanika jedne
Page 6 and 7:
SADRŽAJ ix 9 Specijalna teorija re
Page 8 and 9:
Ovo su bilješke s autorovih predav
Page 10 and 11:
Predgovor Iz područja teorijske me
Page 12 and 13:
Kazalo kratica i simbola ⃗A vekto
Page 14 and 15:
Poglavlje 1 Uvod Na početku svake
Page 16 and 17:
Naprotiv, snižavanjem temperature
Page 18:
Dio I Mehanika jedne čestice 5
Page 21 and 22:
8 POGLAVLJE 2. MATEMATIČKI UVOD -
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
70 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Slika 3.
Page 85 and 86:
72 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Ubrzanje
Page 87 and 88:
74 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Prema sa
Page 89 and 90:
76 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Slika 3.
Page 91 and 92:
78 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA
Page 93 and 94:
80POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI GI
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
100POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI G
Page 115 and 116:
102 POGLAVLJE 5. GIBANJE ČESTICE U
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
126POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVA
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
166 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENT
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217 and 218:
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
Page 229 and 230:
Page 231 and 232:
Page 233 and 234:
Page 235 and 236:
Page 237 and 238:
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
230 POGLAVLJE 8. INERCIJSKI I NEINE
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264:
Page 265 and 266:
252 POGLAVLJE 9. SPECIJALNA TEORIJA
Page 268 and 269:
Poglavlje 10 Sustavi čestica 10.1
Page 270 and 271:
10.1. DISKRETNI I KONTINUIRANI SUST
Page 272 and 273:
Page 274 and 275:
Page 276 and 277:
10.2. SREDIŠTE MASE 263 Uvedu li s
Page 278 and 279:
10.3. KOLIČINA GIBANJA SUSTAVA ČE
Page 280 and 281:
10.4. MOMENT KOLIČINE GIBANJA SUST
Page 282 and 283:
10.5. ENERGIJA SUSTAVA ČESTICA 269
Page 284 and 285:
10.5. ENERGIJA SUSTAVA ČESTICA 271
Page 286 and 287:
10.6. GIBANJE SUSTAVA ČESTICA U OD
Page 288 and 289:
10.6. GIBANJE SUSTAVA ČESTICA U OD
Page 290 and 291:
10.8. LAGRANGEOVO I D’ALEMBERTOVO
Page 292 and 293:
Page 294 and 295:
Page 296 and 297:
10.9. SUSTAVI S PROMJENJIVOM MASOM:
Page 298 and 299:
10.9. SUSTAVI S PROMJENJIVOM MASOM:
Page 300 and 301:
10.10. SUDARI ČESTICA 287 kao savr
Page 302 and 303:
10.10. SUDARI ČESTICA 289 Pomoću
Page 304 and 305:
10.10. SUDARI ČESTICA 291 Slika 10
Page 306 and 307:
Poglavlje 11 Mali titraji sustava
Page 308 and 309:
11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI J
Page 310 and 311:
Page 312 and 313:
Page 314 and 315:
Page 316 and 317:
11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KO
Page 318 and 319:
Page 320 and 321:
Page 322 and 323:
Page 324 and 325:
Page 326 and 327:
Page 328 and 329:
Page 330 and 331:
Page 332 and 333:
Page 334 and 335:
Page 336 and 337:
11.3. TITRANJE PRAVOKUTNE MEMBRANE
Page 338 and 339:
Page 340 and 341:
Page 342 and 343:
11.4. TITRANJE KRUŽNE MEMBRANE 329
Page 344 and 345:
11.4. TITRANJE KRUŽNE MEMBRANE 331
Page 346 and 347: Poglavlje 12 Ravninsko gibanje krut
Page 348 and 349: 12.2. MOMENT TROMOSTI 335 Slika 12.
Page 350 and 351: 12.3. TEOREMI O MOMENTIMA TROMOSTI
Page 352 and 353: 12.4. PAROVI SILA 339 Slika 12.6: U
Page 354 and 355: 12.5. KINETIČKA ENERGIJA, RAD I SN
Page 356 and 357: 12.5. KINETIČKA ENERGIJA, RAD I SN
Page 358 and 359: 12.6. FIZIČKO NJIHALO 345 Slika 12
Page 360 and 361: 12.6. FIZIČKO NJIHALO 347 postaje
Page 362 and 363: 12.7. OPĆENITO RAVNINSKO GIBANJE K
Page 364 and 365: 12.8. TRENUTNO SREDIŠTE VRTNJE 351
Page 366 and 367: 12.8. TRENUTNO SREDIŠTE VRTNJE 353
Page 368 and 369: Poglavlje 13 Prostorno gibanje krut
Page 370 and 371: 13.1. TENZOR TROMOSTI 357 što, ras
Page 372 and 373: 13.1. TENZOR TROMOSTI 359 i tijelo
Page 374 and 375: 13.1. TENZOR TROMOSTI 361 glavnih o
Page 376 and 377: 13.1. TENZOR TROMOSTI 363 Slika 13.
Page 378 and 379: 13.2. EULEROVE JEDNADŽBE GIBANJA 3
Page 380 and 381: 13.3. GIBANJE ZEMLJE 367 Slika 13.5
Page 382 and 383: 13.3. GIBANJE ZEMLJE 369 Vidimo da
Page 384 and 385: 13.4. EULEROVI KUTOVI 371 Slika 13.
Page 386 and 387: 13.4. EULEROVI KUTOVI 373 Lako je v
Page 388 and 389: 13.5. GIBANJE ZVRKA 375 Slika 13.10
Page 390 and 391: 13.5. GIBANJE ZVRKA 377 Ako na desn
Page 392 and 393: 13.5. GIBANJE ZVRKA 379 Slika 13.11
Page 394 and 395: 13.5. GIBANJE ZVRKA 381 postoje dva
Page 396: Dio III Analitička mehanika 383
Page 401 and 402: 388 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNA
Page 425 and 426: 412 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNA
Page 445 and 446: 432 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA sluč
Page 447 and 448:
434 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA Budu
Page 449 and 450:
436 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA
Page 451 and 452:
438 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA Sli
Page 453 and 454:
440 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA Za
Page 455 and 456:
442 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA jer
Page 457 and 458:
444 DODATAK C. FOURIEROVI REDOVI za
Page 459 and 460:
446 DODATAK C. FOURIEROVI REDOVI
Page 461 and 462:
448 DODATAK D. VUČEDOLSKI KALENDAR
Page 463 and 464:
450 DODATAK D. VUČEDOLSKI KALENDAR
Page 465 and 466:
452 BIBLIOGRAFIJA [19] Kotkin G. L.
Page 467:
454 KAZALO POJMOVA Steiner, Jakob,
show all

KLASIËCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

KLASIËCNA MEHANIKA - Studentske web stranice