KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.4. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE 397
Svaku od M nh gornjih jednadžba pomnožimo proizvoljnom konstantom λ m , koja se naziva
Lagrangeov množitelj (multiplikator), i zatim zbrojimo sve jednadžbe uvjeta
3N−M
∑ h
s=1
(λ 1 A s,1 + λ 2 A s,2 + · · · + λ Mnh A s,Mnh ) δq s = 0.
Oduzme li se ova jednadžba od jednadžbe (14.13), dobiva se
3N−M
∑ h
s=1
[ ( ) d ∂ Ek
− ∂ E ]
k
− Φ s − λ 1 A s,1 − λ 2 A s,2 − · · · − λ Mnh A s,Mnh δ q s = 0. (14.19)
d t ∂ ˙q s ∂ q s
U gornjoj jednadžbi nije svih 3N − M h varijacija δ q s medusobno nezavisno. Zbog postojanja
M nh neholonomnih uvjeta, nezavisno je S = 3N −M h −M nh varijacija poopćenih koordinata q s .
Neka su prvih M nh poopćenih koordinata zavisne od preostalih S = 3N − M h − M nh nezavisnih
q 1 , q 2 , · · · , q
} {{
Mnh , q
}
Mnh +1, q Mnh +2, · · · , q 3N−Mh .
} {{ }
zavisno
nezavisno
Sve do sada, na Lagrangeove množitelje nisu bili postavljeni nikakvi uvjeti - njihove su vrijednosti
potpuno proizvoljne. Ako se sada odaberu Lagrangeovi množitelji λ m na takav način da
iščezava prvih M nh uglatih zagrada iz (14.19) koje množe zavisne δq s ,
[ d
d t
( ) ∂ Ek
∂ ˙q s
− ∂ E k
∂ q s
− Φ s − λ 1 A s,1 − λ 2 A s,2 − · · · − λ Mnh A s,Mnh
]
preostaje još S uglatih zagrada, povezanih jednadžbom
3N−M
∑ h
s=M nh +1
s=1,··· ,M nh
= 0,
[ ( ) d ∂ Ek
− ∂ E ]
k
− Φ s − λ 1 A s,1 − λ 2 A s,2 − · · · − λ Mnh A s,Mnh δ q s = 0.
d t ∂ ˙q s ∂ q s
No, u gornjoj su jednadžbi sada sve poopćene koordinate q s medusobno nezavisne, pa istom
argumentacijom kao u izvodu (14.14) zaključujemo da svaka od gornjih uglatih zagrada mora
iščezavati. Tako smo došli do zaključka da svih 3N − M h okruglih zagrada iz (14.19) mora
iščezavati: njih M nh zbog izbora Lagrangeovih množitelja, a preostalih S = 3N − M h − M nh
zbog nezavisnosti poopćenih koordinata. Lagrangeove jednadžbe neholonomnog sustava mogu
se zapisati u obliku sustava diferencijalnih jednadžba
d
d t
( ) ∂ Ek
∂ ˙q s
3N−M
∑ h
s=1
− ∂ E k
∂ q s
= Φ s + λ 1 A s,1 + λ 2 A s,2 + · · · + λ Mnh A s,Mnh , s = 1, · · · , 3N − M h ,
A s,m ˙q s + B m = 0, m = 1, 2, · · · , M nh .
Gornji se sustav sastoji od (3N − M h ) + M nh jednažba i isto toliko nepoznanica:
q 1 , q 2 , · · · , q 3N−Mh , λ 1 , λ 2 , · · · , λ Mnh .
Ukoliko su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, može se uvesti potencijalna energija,
izrazom Φ s = −∂E p /∂q s . Ako potencijalna energija ne ovisi o poopćenim brzinama ˙q s ,