KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.7.
JEDNADŽBA GIBANJA ČESTICE U POLJU CENTRALNE SILE 205
je konstantno u vremenu. Primjetimo da je ovo konstanta s kojom smo se već sreli: u polarnom
koordinatnom sustavu je moment količine gibanja
⃗L 0 = m⃗ρ × ˙ ⃗ρ = m⃗ρ × ( ˙ρˆρ + ρ ˙ϕ ˆϕ ) = mρ 2 ˙ϕẑ = const. ⇒ ρ 2 ˙ϕ = |⃗ L 0 |
m
= const.
U jednadžbi gibanja (7.50), se pojavljuju ρ i ϕ kao funkcije vremena,
ρ = ρ(t),
ϕ = ϕ(t),
uz uvjet da je ρ 2 ˙ϕ konstantno u vremenu. Ta se jednadžba može rješavati na dva načina:
(1) parametarski: pomoću uvjeta ρ 2 ˙ϕ = const., eliminirati kutnu varijablu ϕ i dobiti jednadžbu
za ρ kao funkciju vremena: ρ = ρ(t); riješiti tu jednadžbu i zatim taj ρ = ρ(t)
uvrstiti u ρ 2 ˙ϕ = const.; time dobivamo diferencijalnu jednadžbu za ϕ kao funciju vremena:
ϕ = ϕ(t)
ρ = ρ(t),
ϕ = ϕ(t).
(2) eksplicitno: shvatiti ρ kao složenu funkciju u smislu da ρ ovisi o vremenu samo kroz
kutnu varijablu ϕ, tj. da je ρ = ρ(ϕ) i ϕ = ϕ(t)
ρ = ρ( ϕ(t) ).
(1): Pogledajmo prvi način: u jednadžbu (7.50)
¨ρ − ρ ˙ϕ 2 = f(ρ)
m ,
uvrstimo ˙ϕ iz ρ 2 ˙ϕ = L 0 /m = const. i dobijemo
¨ρ − L2 0
m 2 ρ 3 = f(ρ)
m , (7.51)
jednadžbu za ρ = ρ(t) u kojoj je eliminirana kutna varijabla. Kada se riješi ova jednadžba,
dobit će se eksplicitna ovisnost ρ = ρ(t). Ovo rješenje za ρ uvrsti se zatim u ρ 2 ˙ϕ = L 0 /m i ta
se jednadžba riješi po ϕ
∫ ϕ
d ϕ
d t
=
| L ⃗ 0 |
m ρ 2 (t)
d ϕ = |⃗ L 0 |
ϕ 0
m
∫ t
t 0
ϕ = ϕ 0 + |⃗ L 0 |
m
d t
ρ 2 (t)
∫ t
t 0
d t
ρ 2 (t) = ϕ(ϕ 0, L 0 , t 0 ; t).