KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.5. PROBLEM DVA TIJELA 199
Zbrajanjem gornje dvije jednadžbe, dobiva se
⃗r 1 × m 1⃗ ¨r 1 + ⃗r 2 × m 2⃗ ¨r 2 = (⃗r 1 − ⃗r 2 ) × F ⃗ 2,1 = 0,
d
d t (⃗r 1 × m 1 ⃗˙r 1 + ⃗r 2 × m 2 ⃗˙r) 2 = 0.
Desne strane gornjih jednadžba su jednake nuli zato jer sila F ⃗ 2,1 ima smjer spojnice točaka ⃗r 1
i ⃗r 2 , pa je kolinearna s (⃗r 1 − ⃗r 2 ) i vektorski umnožak na desnoj strani je jednak nuli. Definira
li se moment količine gibanja cijelog sustava L ⃗ izrazom
⃗L = ⃗r 1 × m 1 ⃗˙r 1 + ⃗r 2 × m 2 ⃗˙r, 2 (7.45)
tada iz gornjeg razmatranja zaključujemo da je ⃗ L konstantan u vremenu i jednak vrijednosti
momenta količine gibanja u početnom trenutku. Ovu konstantnu vrijednost ćemo označavati s
⃗L 0 .
Postavimo sada ishodište koordinatnog sustava u točku središte mase, ⃗r SM = (m 1 ⃗r 1 +m 2 ⃗r 2 )/(m 1 +
m 2 ) = 0 (slika 7.12). Tada je po komponentama
Slika 7.12: Ishodište koordinatnog sustava je u središtu mase.
m 1 x 1 + m 2 x 2 = 0, m 1 y 1 + m 2 y 2 = 0, m 1 z 1 + m 2 z 2 = 0. (7.46)
U koordinatnom sustavu u kojemu je ⃗r SM = 0 je i ukupna količina gibanja m 1 ⃗˙r+m 1 2 ⃗˙r 2 = (m 1 +
m 2 ) ˙⃗r SM = 0, pa jedini konstantni vektor koji nam preostaje je vektor ukupnog momenta količine
gibanja. On predstavlja istaknuti smjer u prostoru. Zbog izotropnosti prostora, koordinatne
osi možemo usmjeriti kako želimo, a u ovom je slučaju je prirodno jednu od osa postaviti u
smjer momenta količine gibanja. Neka to bude os z. Sada je L ⃗ = L 0 ẑ . U ovako postavljenom
koordinatnom sustavu, a prema relaciji (7.45), je
L x = 0 = m 1 (y 1 ż 1 − z 1 ẏ 1 ) + m 2 (y 2 ż 2 − z 2 ẏ 2 ),
L y = 0 = m 1 (z 1 ẋ 1 − x 1 ż 1 ) + m 2 (z 2 ẋ 2 − x 2 ż 2 ),
L z = L 0 = m 1 (x 1 ẏ 1 − y 1 ẋ 1 ) + m 2 (x 2 ẏ 2 − y 2 ẋ 2 ).
Gornje su jednadžbe zadovoljene ako je z 1 = z 2 = 0. Time smo došli do dva važna zaključka:
(1) da se čestice gibaju oko središta mase u ravnini (x, y), i
(2) da je ta ravnina okomita na konstantni vektor momenta količine gibanja ⃗ L 0 .