KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

194 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Uvrštavanjem gornjeg razvoja u izraz za elektrostatski potencijal, (7.16), dobiva se
V (⃗r) = V (⃗r) mon + V (⃗r) dip + V (⃗r) kva + V (⃗r) okt + · · · (7.37)
Prvi član gornjeg razvoja je monopolni potencijal , tj. potencijal koji dolazi od ukupnog naboja
cijelog sustava
V (⃗r) mon = 1 ∫
1
ρ q (⃗r ′ )d 3 r ′ = 1 q
4πɛ 0 r
4πɛ 0 r . (7.38)
Ako je ukupan naboj cijelog sustava jednak nuli (kao što je to npr. slučaj kod neutralnih atoma
gdje je q = q + + q − = 0), onda ovaj član iščezava.
Drugi član se naziva dipolni potencijal
V (⃗r) dip = 1
4πɛ 0
1
r 2 ∫
Nazovemo li dipolnim momentom ⃗p
ˆr · ˆr ′ r ′ ρ q (⃗r ′ )d 3 r ′ = 1
4πɛ 0
∫
⃗p =
tada je gornji dipolni potencijal oblika kao i (7.36)
∫
ˆr
r 2
⃗r ′ ρ q (⃗r ′ )d 3 r ′ .
⃗r ′ ρ q (⃗r ′ )d 3 r ′ , (7.39)
V (⃗r) dip = 1
4πɛ 0
⃗p ˆr
r 2 . (7.40)
Ako u (7.39) uvrstimo da je gustoća naboja ρ q (⃗r ′ ) različita od nule samo u dvije točke: ±(l/2)ẑ
u kojima ima vrijednost ±q, dobit ćemo rezultat ⃗p = qlẑ s početka ovog odjeljka (gornji je
izraz za ⃗p je puno općenitiji od ⃗p = qlẑ koji vrijedi samo za dva točkasta naboja). Za razliku
od potencijala monopola, dipolni potencijal opada brže, kao 1/r 2 .
Treći se član naziva kvadrupolni potencijal i opada još brže (kao 1/r 3 ) od prethodna dva člana.
V (⃗r) kva = 1 1 1
4πɛ 0 r 3 2
∫
r ′ 2 [3(ˆr · ˆr ′ ) 2 −1]ρ q (⃗r ′ )d 3 r ′ = 1 1 1
4πɛ 0 r 3 2
Raspišimo izraz iz uglate zagrade u pravokutnim koordinatama
∫
[3(ˆr ·⃗r ′ ) 2 −r ′ 2 ]ρ q (⃗r ′ )d 3 r ′ .
(7.41)
ˆr = ˆx sin θ cos ϕ + ŷ sin θ sin ϕ + ẑ cos θ ≡ ˆx r x + ŷ r y + ẑ r z ,
⃗r ′ = ˆx x ′ + ŷ y ′ + ẑ z ′ ,
3(ˆr · ⃗r ′ ) 2 − r ′ 2 = 3(r x x ′ + r y ŷ + r z ẑ ) 2 − (x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 )
= 3(rxx 2 ′ 2 + ryy 2 ′ 2 + rzz 2 ′ 2 + 2r x r y x ′ y ′ + 2r x r z x ′ z ′ + 2r y r z y ′ z ′ ) − x ′ 2 − y ′ 2 − z ′ 2 .
Čitatelj će se lako uvjeriti, izravnim množenjem, da se gornji izraz može preglednije napisati
pomoću matrice T (⃗r ′ ) definirane donjim izrazom
⎡
< ˆr |T (⃗r ′ )|ˆr >= [ ]
r x r y r z
⎣ 2x ⎤ ⎡
′ 2 − y ′ 2 − z ′ 2 3x ′ y ′ 3x ′ z ′
3y ′ x ′ 2y ′ 2 − x ′ 2 − z ′ 2 3y ′ z ′ ⎦ ⎣ r x
r y
3z ′ x ′ 3z ′ y ′ 2z ′ 2 − x ′ 2 − y ′ 2 r z
⎤
⎦
Uvedemo li sada realnu i simetričnu matricu koja se, u analogiji s dipolnim momentom (koji je
vektor), naziva kvadrupolni moment Q
∫
Q = ρ q (⃗r ′ ) T (⃗r ′ ) d 3 r ′ , (7.42)