KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

108 POGLAVLJE 5. GIBANJE ČESTICE U POLJU KONSTANTNE SILE I SILA OVISNIH O BRZINI
Prema (5.14) i (5.15), visina H i doseg D ovise o početnoj brzini v 0 i kutu ispaljenja α, pa se
može postaviti slijedeće pitanje: ako se projektil ispaljuje s tla, z 0 = 0 i ako je brzina ispaljenja
v 0 konstantna, koliki treba biti kut α, pa da visina H i doseg D budu maksimalni? Uz ove
uvjete, visina i doseg su funkcije kuta, H = H(α) i D = D(α), pa se njihov ekstrem, u ovom
slučaju maksimum, odreduje iz uvjeta
(5.14) ⇒ ∂ H
∂ α
(5.15) ⇒ ∂ D
∂ α
∣ = 0, ⇒ α max,H = π
αmax,H
2 ,
∣ = 0 ⇒ α max,D = π
αmax,D
4 .
Primjetimo da (kada se ispaljenje vrši s tla, z 0 = 0), tada je α max,H = 2 α max,D . Kada se iz
gornjih jednadžba nadu α max,H i α max,D , maksimalni visina i doseg se dobiju kao
H max = H(α max,H ) = 1 2
v 2 0
g ,
D max = D(α max,D ) = v 2 0
g = 2 H max.
Izračunajmo i oblik putanje čestice, tako što ćemo iz rješenja za y u jednadžbi gibanja (5.13)
eliminirati vrijeme
y
t =
v 0 cos α
i uvrstiti ga u jednadžbu za z
z − z 0 = y tan α −
g
2v 2 0 cos 2 α y 2 .
Gornju jednadžbu prepoznajemo kao jednadžbu parabole u (y, z) ravnini.
Kao i kod slobodnog pada, i ovdje djeluje samo gravitacijska konzervativna sila, pa zato mora
biti zbroj kinetičke i potencijalne energije čestice konstantan. Pokažimo da je
E meh (⃗r, t) = E meh (⃗r 0 , 0) = const
Uvrstimo izraze za kinetičku i potencijalnu energiju čestice
E meh (⃗r, t) = E k (⃗r, t) + E p (⃗r, t) = mv 2 (t)
+ mgz(t) = m 2
2 (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 ) + mgz
= m 2 (0 + v 0 2 cos 2 α + v0 2 sin 2 α − 2v 0 gt sin α + g 2 t 2 ) + mg
(z 0 + v 0 t sin α − 1 )
2 gt 2
= mv 2 0
2
+ mgz 0 = E meh (⃗r 0 , 0).
Ako bismo u račun uzeli i silu trenja izmedu čestice koja se giba i molekula zraka iz zemljine
atmosfere, tada ukupna mehanička energija neće biti sačuvana, nego će se smanjivati
(dE meh / dt) < 0, a smanjenje mehaničke energije čestice je po iznosu jednako (a po predznaku
suprotno) povećanju mehaničke energije gibanja molekula zraka. Promatra li se sustav koji se
sastoji od čestice i zraka kroz koji se ona giba, opet će mehanička energija takvog sustava ostati
nepromjenjena u vremenu.