KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

274 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
zove središte. Vremenskom derivacijom gornje jednadžbe se dobiva upravo zbroj količina
gibanja svih čestica sustava izražen u odnosu na položaj središta mase
N∑
/ d
m j ⃗r j ′ = 0
dt
j=1
⃗p ′ =
N∑
j=1
m j ⃗v ′
j = 0, (10.24)
tj. ukupna količina gibanja sustava u odnosu na središte mase je jednaka nuli.
Moment količine gibanja:
Povežimo sada ukupni moment količine gibanja sustava čestica, prikazan u sustavima (O, x, y, z)
i (O ′ , x ′ , y ′ , z ′ ). Uvrštavanjem veza (10.22) u izraz za ukupni moment količine gibanja
⃗L =
=
N∑
m j ⃗r j × ⃗v j =
j=1
N∑
j=1
N∑
j=1
m j (⃗r SM + ⃗r ′
j ) × (⃗v SM + ⃗v ′
j)
m j (⃗r SM × ⃗v SM + ⃗r SM × ⃗v ′
j + ⃗r ′
j × ⃗v SM + ⃗r ′
j × ⃗v ′
j)
= m ⃗r SM × ⃗v SM + ⃗r SM ×
( N
∑
j=1
m j ⃗v ′
j
)
} {{ }
⃗p ′ = 0
+
( N
∑
j=1
m j ⃗r ′
j
)
} {{ }
⃗r ′
SM = 0 × ⃗v SM +
N∑
j=1
m j ⃗r ′
j × ⃗v ′
j.
Prema relacijama (10.23) i (10.24) su drugi i treći član gornjeg izraza jednaki nuli, tako da
preostaje
⃗L = m ⃗r SM × ⃗v SM +
N∑
j=1
m j ⃗r j ′ × ⃗v j
′
⃗L = m ⃗r SM × ⃗v SM + ⃗ L ′ , (10.25)
gdje smo uveli oznaku L ⃗ ′ = ∑ N
j=1 m j⃗r j ′ × ⃗v j. ′ Moment količine gibanja je zbroj dva člana:
prvi predstavlja gibanje sustava kao cjeline u odnosu na ishodište O (brzinom ⃗v SM ), a drugi
je zbroj momenata količine gibanja čestica u odnosu na ishodište O ′ vezano za središte mase
sustava.
Potražimo još i vezu izmedu momenta vanjskih sila i momenta količine gibanja sustava čestica.
Od ranije, relacijom (10.15), znamo da u koordinatnom sustavu (O, x, y, z), vrijedi da je
d ⃗ L
dt = ⃗ M v ,