KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

402 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE
Posebnost Lorentzove sile je u tome što ona ovisi o brzini čestice, što će u konačnici dati
potencijalnu energiju koja ovisi o brzini. Kao što je poznato, polja ⃗ E i ⃗ B se mogu
izraziti preko dva potencijala: skalarnog V (⃗r, t) i vektorskog ⃗ A (⃗r, t),
kao
V (⃗r, t) =
∫
1 ρQ (⃗r ′ , t ′ )
d 3 r ′ ,
4πɛ 0 |⃗r − ⃗r ′ |
⃗A (⃗r, t) = µ ∫
0 ⃗ j Q (⃗r ′ , t ′ )
d 3 r ′ ,
4π |⃗r − ⃗r ′ |
⃗E = − −→ ∇V − ∂ ⃗ A
∂t , ⃗ B =
−→ ∇ × ⃗ A .
⃗F L = Q
(
− −→ ∇V − ∂ A ⃗ )
∂t + ˙⃗r × ( −→ ∇ × A ⃗ ) .
U gornjim izrazima su ρ Q i ⃗j Q redom, gustoće naboja i struje, a t ′ = t − |⃗r − ⃗r ′ |/c je retardirano
vrijeme, tj. vrijeme potrebno elektromagnetskom valu da, gibajući se brzinom c,
prijede put |⃗r − ⃗r ′ |. Zadatak je
izračunati Lagrangeovu funkciju naelektrizirane
čestice koja se giba u elektromagnetskom polju.
Uočimo da nema uvjeta na gibanje, pa sustav, koji se sastoji od samo jedne čestice, ima
S = 3 stupnja slobode, a za poopćene koordinate se mogu uzeti pravokutne koordinate čestice,
tako da vrijedi
⃗r = x ˆx + y ŷ + z ẑ ,
q 1 = x, q 2 = y, q 3 = z,
˙q 1 = ẋ , ˙q 2 = ẏ , ˙q 3 = ż ,
∂⃗r
⇒ ∂⃗r
∂q s ∂x = ˆx ,
∂⃗r
∂y = ŷ ,
∂⃗r
∂z = ẑ .
Poopćene sile su upravo komponente Lorentzove sile (za sustav od jedne čestice je i N = 1,
indeks s stupnja slobode je s = x, y, z)
Φ s =
N∑
j=1
⃗F j
∂⃗r j
∂q s
⇒ Φ s=x = F x , Φ s=y = F y , Φ s=z = F z .
Izračunajmo npr. x komponentu Lorentzove sile, izraženu preko potencijala
{
F L,x = Q − ∂V
∂x − ∂A [
x −→
] }
+ ˙⃗r × ( ∇ × A ⃗ ) .
∂t
x