KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

216 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Homogena varijanta gornje jednadžbe nam je dobro poznata iz odjeljka 6, gdje je opisivala gibanje
čestice pod djelovanjem elastične sile (sada s ω 0 = 1). Njezina su rješenja trigonometrijske
funkcije, koje sažeto možemo napisati u obliku
u H = C 0 cos(ϕ − ϕ 0 ),
uz konstantne C 0 i ϕ 0 koje se odreduju iz početnih uvjeta na cijelo rješenje u = u H + u P . Lako
je uvjeriti se da je partikularno rješenje konstanta
pa je cijelo rješenje
u P = Km ,
L 2 0
u = u H + u P = C 0 cos(ϕ − ϕ 0 ) + Km .
L 2 0
Zbog izotropnosti prostora, smjerovi koordinatnih osi se mogu postaviti tako da je početni
otklon ϕ 0 = 0. Vratimo li se u varijablu ρ = 1/u, gornje rješenje je
ρ(ϕ) =
L
[
2 0/(Km)
]
1 + C 0 L 2 0/(Km)
,
cos ϕ
što prepoznajemo kao jednadžbu presjeka stošca iz dodatka B,
p
ρ(ϕ) =
1 + ɛ cos ϕ ,
uz p = L 2 0/(Km) i ɛ = C 0 p > 0. Ovime je pokazano da su putanje tijela u polju privlačne sila
inverznog kvadrata, oblika presjeka stošca. Primjetimo da smo, pomoću Binetove formule, iz
oblika putanje jednoznačno dobili oblik sile, ali da iz oblika sile dobivamo više mogućih oblika
putanje. Stvarni oblik putanje ovisi o početnim uvjetima.
Povežimo konstantu C 0 s ukupnom energijom tijela E. Gibanje u polju sile inverznog kvadrata
se može odvijati po zatvorenoj (planeti, sateliti) ili otvorenoj putanji (komete, meteori), ovisno
o tome je li ukupna mehanička energija objekta koji se giba E < 0 ili E ≥ 0. Iz razmatranja o
energiji, (7.55 ), znamo da je
Uvrsti li se u gornji izraz
dolazi se do
2m
E + 2mK
L 2 0 L 2 0
2m(E − E p )
L 2 0
=
( ) 2 d u
+ u 2 .
d ϕ
u = C 0 cos ϕ + Km , E
L 2 p = −K u,
0
(
C 0 cos ϕ + Km )
(
= C 2
L 2 0 sin 2 ϕ + C 0 cos ϕ + Km ) 2
.
0
L 2 0
Rješavanjem gornje jednadžbe po C 0 , dolazi se do
C 0 = K m
√
1 + 2L2 0
L 2 0 K 2 m E,