KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

432 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA
slučajem kada je argument linearna funkcija
∫ +∞
−∞
f(x) δ(c x − x 0 ) dx, x 0 , c = const. ≠ 0.
Neka je c > 0 i uvedimo novu varijablu c x − x 0 = y. Koristeći rezultat iz točke (1), dobiva se
∫ +∞
f(x) δ(c x − x 0 ) dx = 1 ∫ +∞
( ) y + x0
f
δ(y) dy = 1 (
c
c
c f x0
)
.
c
−∞
−∞
Ako je c < 0, opet uvodimo novu varijablu c x − x 0 = y. Sada je
∫ +∞
f(x) δ(c x − x 0 ) dx = 1 ∫ −∞
( ) y + x0
f
δ(y) dy
−∞
c +∞ c
= − 1 ∫ +∞
( ) y + x0
f
δ(y) dy = − 1 (
c
c
c f x0
)
= 1 (
c |c| f x0
)
.
c
−∞
Budući da se δ funkcija u umnošcima s drugim funkcijama pojavljuje u integralima, dva gornja
reda se mogu sažeti u
δ(c x − x 0 ) = 1
|c| δ(x − x 0/c).
Ako odaberemo c = −1 i x 0 = 0, gornja relacija nam kaže da je δ funkcija parna
δ(x) = δ(−x).
(3) Pogledajmo sada slučaj kada je argument δ funkcije, kvadratna funkcija
∫ ∞
−∞
f(x) δ(x 2 − a 2 ) dx, a = const. ≠ 0.
Budući da se u gornjem izrazu a pojavljuje samo kroz a 2 , bez gubitka općenitosti, možemo
odabrati da je a > 0
∫ ∞
−∞
f(x) δ[(x − a)(x + a)] dx =
∫ 0
−∞
f(x) δ[(x − a)(x + a)] dx +
∫ ∞
0
f(x) δ[(x − a)(x + a)] dx.
U prvom integralu desne strane, argument δ funkcije iščezava samo u x = −a, pa stoga možemo
pisati
∫ 0
−∞
f(x) δ[(x − a)(x + a)] dx ≈
−∞
∫ 0
−∞
f(x) δ[(−2a)(x + a)] dx =
∫ 0
−∞
f(x) δ[−2ax − 2a 2 )] dx.
Na gornji izraz primjenimo rezultat iz točke (2), uz c ≡ −2a i x 0 ≡ 2a 2 , što vodi na
∫ 0
f(x) δ[(x − a)(x + a)] dx = 1 ( ) 2a
2
| − 2a| f = 1
−2a |2a| f (−a) .
Sličnim se postupkom dobije i
∫ ∞
f(x) δ[(x − a)(x + a)] dx = 1 ( ) 2a
2
|2a| f 2a
0
= 1
|2a| f (a) ,