KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.6. APSORPCIJA SNAGE VANJSKE SILE 153
Iz relacije (6.47) se očitava C ′ (0) = 0, pa je
Sada se cijelo rješenje može napisati u obliku
x(t) = x 0 cos ω 0 t + v 0
0
ω 0
S(0) = v 0
ω 0
.
sin ω 0 t
+ 1 ∫ t [
]
F v (s) sin ω 0 t cos ω 0 s − cos ω 0 t sin ω 0 s d s
ω 0
= x 0 cos ω 0 t + v 0
sin ω 0 t + 1 ∫ t
F v (s) sin ω 0 (t − s) d s
ω 0 ω 0 0
= x H + x P ,
gdje smo prepoznali homogeno rješenje x H , poznato iz odjeljka 6.1 (koje preostane ako nema
vanjske sile: F v = 0)
i drugi dio koji je partikularno rješenje
x H = x 0 cos ω 0 t + v 0
ω 0
x P = 1 ω 0
∫ t
0
sin ω 0 t
F v (s) sin ω 0 (t − s) d s.
Općenitije:
Gore izložena teorija se odnosi na neprigušeni harmonijski oscilator na koji djeluje neperiodična
vanjska sila. No, to je samo poseban slučaj općenitog problema traženja partikularnog rješenja
diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima
ẍ + p ẋ + q x = f(t), (6.48)
gdje su p i q konstante. Gornjoj se diferencijalnoj jednadžbi pridružuje algebarska jednadžba
ϕ(k) = k 2 + p k + q = 0
koja se naziva karakteristična jednadžba. Navodimo rješenja jednadžbe (6.48) za dva moguća
oblika funkcije f(t).
(1)
f(t) = e a t P n (t),
gdje je P n (t) polinom n-tog reda u varijabli t. Ako a nije korjen karakteristične jednadžbe, tj.
ako je
tada se partikularno rješenje traži u obliku
ϕ(a) ≠ 0,
x p = e a t Q n (t),